¿Podemos encontrar un general $\delta$ para probar la continuidad de polinomios?

Question

Los polinomios son funciones continuas. En otras palabras, para todos los $\epsilon > 0$ y todos los $a$, hay algunos $\delta > 0$ que si $|x-a|<\delta$, $|P(x)-P(a)|<\epsilon$ donde $P(x)$ es una función de la forma

$$P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i$$

La prueba de esto se hace generalmente a través de límite de teoremas y la inducción matemática, que evita la dificultad de encontrar $\delta$.

Mi pregunta es, ¿es posible demostrar la continuidad de polinomios por explícitamente encontrar una $\delta$ (una forma cerrada), en términos de $n$, $a$, $a_i$ y $\epsilon$ donde tenemos $\delta = \min(....)$.

Si esto es demasiado ambicioso, hay casos especiales (con, digamos, cuadráticas)?

Answer 1

Asumir $|x - a| \leq \delta \leq 1$. Tenemos $$\begin{align*} |P(x) - P(a)| &= \left|\sum_{i = 1}^n a_i(x - a)(x^{i-1} + x^{i-2}a + \dots + a^{i-1})\right| \\ &\leq \sum_{i = 1}^n i|a_i||x - a| \max(|x|^{i-1}, |a|^{i-1}) \\ &\leq |x-a|\max(|x|^{n-1},|a|^{n-1},1)\sum_{i=1}^n i|a_i| \\ &\leq \delta (|a| + 1)^{n-1}n^2 \max_{i \geq 1}(|a_i|). \end{align*} $$ así que (suponiendo que $P(x)$ es no constante) puede elegir $\delta = \min(1,\epsilon/M)$, donde $M = (|a|+1)^{n-1}n^2 \max_{i \geq 1}(|a_i|)$.

Lo que he escrito funciona, pero es posible hacer esto un poco más limpia mediante $|P(x) - P(a)| \leq |x-a| \max_{y \in I_{a,x}} |P'(y)|$, donde $I_{a,x}$ es o $[a,x]$ o $[x,a]$.