Un grupo de orden $195$ tiene un elemento de orden $5$ en su centro de

Question

Deje $G$ ser un grupo de orden $195=3\cdot5\cdot13$. Mostrar que el centro de la $G$ tiene un elemento de orden $5$.

Hay un par de teoremas que podemos usar, pero no parecen ser capaces de poner juntos muy a la derecha. Quiero mostrar que el centro de la $G$ es divisible por los números primos $5$. Si este es el caso, entonces podemos aplicar del teorema de Cauchy y hemos terminado.

Por Sylow de teoremas, observamos que no son exclusivos de $3$-Sylow, $5$-Sylow, y $13$-subgrupos de Sylow en $G$. Ya que son de primer orden, son abelian. Además, su intersección es trivial (por un teorema que yo creía). ¿Garantía de que $G=ABC$ y $G$ es abelian?

Answer 1

Se han señalado correctamente que $G$ contiene un único (y, por tanto, normal) 5-subgrupo de sylow, $N_5.$ Considera que la acción de $G$ $N_5$ dado por la conjugación. Si este es el trivial de acción, a continuación, $N_5$ es central en $G.$

Considerar la homomorphism $\phi: G \rightarrow \mathrm{Aut}(N_5)$ dado por el envío de $g$ a la conjugación por $g$ mapa. Como $(|\mathrm{Aut}(N_5)|,|G|) = 1,$ el mapa de $\phi$ es trivial. De ello se desprende $G$ actos trivialmente en $N_5.$

Answer 2

Sugerencia: No son únicas, por lo tanto normal, $5$ - $13$- Sylows. Internos de su producto directo es lo normal y tiene complementarios subgrupo igual a uno de los $3$-Sylows, por lo $G$ es un semidirect producto de $H_5 H_{13}$ $H_3$ donde $H_p$ denota una $p$-Sylow (no necesariamente único). ¿Qué se puede decir acerca de la $\varphi: H_3 \to \text{Aut}(H_5 H_{13})$?

Answer 3

Aquí es una manera más para resolver este problema.

Por Sylow del teorema, el $5$-subgrupo de Sylow $P$ e las $13$-subgrupo de Sylow $Q$ son normales en $G$.

A continuación, $G/Q$ es cíclica, ya que cualquier grupo de orden $15$ es. En particular, es abelian, por lo $G' \leq Q$.

Esto demuestra que $P \cap G' = \{ 1 \}$. De esto se sigue que $P$ es central. Si $p \in P$$g \in G$,$p^{-1}g^{-1}pg \in P \cap G'$, lo $pg = gp$.

En general, es cierto que si $P \trianglelefteq G$$P \cap G' = \{1\}$, $P$ es central.