Mostrando que los números de la forma 10101010...1 está compuesto

Question

Quiero demostrar que todos los números de la forma 1010101010...1 está compuesto excepto 101.

Soy capaz de demostrar que para todos los números con un número par de unos, pero no puedo averiguar alguna idea para el resto de los números.

Answer 1

Tienes los números de la forma $\dfrac{100^n-1}{99}=\dfrac{(10^{n}-1)(10^{n}+1)}{9\times 11}$:

• Si $n$ es impar tiene $\dfrac{100^{2k-1}-1}{99}=\dfrac{10^{2k-1}-1}{9} \times \dfrac{10^{2k-1}+1}{11}$

• Si $n$ es incluso ha $\dfrac{100^{2k}-1}{99}=\dfrac{10^{2k}-1}{99} \times \dfrac{10^{2k}+1}{1}$

y estos factores son todos los números enteros, aunque algunos pueden ser igual a $1$ al $k=1$

Answer 2

Sugerencia: para ver el número como una serie geométrica. El primer término es $1$, y la proporción es $100$. El uso de la fórmula para la suma de una serie geométrica, a continuación, ver el numerador como diferencia de dos cuadrados.