¿$f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ es toda función tal que $g(z)=f(1/z)$ $z=0$ tiene un polo, entonces es $f$ sobreyectiva?

Question

¿$f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ es toda función tal que $g(z)=f(1/z)$ $z=0$ tiene un polo, entonces es $f$ sobreyectiva? Puedo probar que $f$ será un polinomio. y por lo tanto $f$ es sobreyectiva. ¿Estoy correcto?

Answer 1

Sí, ya que su polinomio debe tener grado mínimo de 1, esto se deduce el Teorema fundamental del álgebra.

(El hecho de que $g$ es un polinomio es proabably más fácil de ver en la expansión de la serie de Taylor de $f$ que inmediatamente le da que una expansión de la serie de Laurent para $g$, pero esto es probablemente lo que has hecho ya).