Evaluar $\int\limits_{-\infty}^\infty {\exp(iax)\over1+ix}dx$

Question

¿Cómo se evalúa la integral $\int\limits_{-\infty}^\infty {\exp(iax)\over1+ix}dx$ ? Lo he intentado con Wolfram Alpha, pero sólo dice "computation timed out"... Probé la integral indefinida y obtuve una respuesta que implicaba una función extraña $E_1$ . ¿Es posible evitar la función extraña? Supongo que los límites de mi integral lo eliminarían, pero ¿cómo?

Answer 1

Establecer $z=ix$ entonces $dz=idx$ . La integral se lee como $$\mathcal{I}=\frac{1}{i}\int^{i\infty}_{-i\infty}\frac{e^{az}}{1+z}\,dz=\frac{2\pi}{2\pi i}\int^{i\infty}_{-i\infty}\frac{e^{az}}{1+z}\,dz$$ La integral $$\frac{1}{2\pi i}\int^{i\infty}_{-i\infty}\frac{e^{az}}{1+z}\,dz=\mathcal{L}^{-1}(\frac{1}{1+z})(a)$$ es la integral de Bromwich y el lado derecho es la transformada inversa de Laplace. Para evaluar esta transformada inversa de Laplace consideremos la siguiente integral $$\mathcal{J}=\oint_{\gamma}\frac{e^{az}}{1+z}\,dz$$ donde $\gamma$ es un contorno formado por una línea vertical en el eje imaginario y un semicírculo en el plano de la mitad izquierda. Podríamos dividir la integral del contorno de la siguiente manera: $$\oint_{\gamma}\frac{e^{az}}{1+z}\,dz=\int^{iT}_{-iT}\frac{e^{az}}{1+z}\,dz+\oint_{\Gamma_R}\frac{e^{az}}{1+z}\,dz$$ La última integral puede estimarse como $$\Big|\oint_{\Gamma_R}\frac{e^{az}}{1+z}\,dz\Big|\leq\oint_{\Gamma_R}\Big|\frac{e^{az}}{1+z}\,dz\Big|\leq \frac{e^{-Ra}}{R-1}\to0$$ como $R\to\infty$ . Por lo tanto, en el límite la única contribución proviene de la primera integral, a saber $$\lim_{T\to\infty}\int^{iT}_{-iT}\frac{e^{az}}{1+z}\,dz=\int^{i\infty}_{-i\infty}\frac{e^{az}}{1+z}\,dz$$ Dentro de este contorno sólo hay un polo simple del integrando en $z=-1$ con residuos $e^{-a}$ . Apelando al Teorema de Cauchy sobre los residuos entonces $$\oint_{\gamma}\frac{e^{az}}{1+z}\,dz=2\pi i\cdot e^{-a}\Rightarrow \int^{i\infty}_{-i\infty}\frac{e^{az}}{1+z}\,dz=2\pi i \cdot e^{-a} $$ Pero $$\mathcal{I}=\frac{1}{i}\int^{i\infty}_{-i\infty}\frac{e^{az}}{1+z}\,dz\Rightarrow \mathcal{I}=2\pi\cdot e^{-a}$$

Answer 2

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{iax}}{1+ix}dx=\frac{2\pi}{e^a}\quad,\quad a\in\mathbb{R}_+^*$$