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¿Qué es una definición formal de ' aleatoriedad '?

¿Qué es una definición matemática/lógica rigurosa de 'azar'? ¿Bajo qué condiciones podemos verdaderamente aplicar el predicado 'es al azar'?

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Conrado Costa Puntos 3600

Para evitar debates filosóficos (supongo que usted está buscando para el concepto de la matemática) uno se ocupa de variables aleatorias (que pueden ser entendidas como características numéricas de su experimento) que son funciones definidas sobre un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{B}, \mathbb{P} )$ $$X: \Omega \to \mathbb{R}$$

En fin, que esta construcción tiene sentido, se requiere que usted puede pedir a algunas 'natural' de preguntas sobre el resultado de su característica numérica, tales como: Es $X$ más grande que algunas $a$? ¿cuál es la probabilidad de este evento?

A usted le gustaría considerar la $\{\omega \in \Omega : X(\omega) > a\} $ o brevemente $[X>a]$. Como $\mathcal{F}$ es el conjunto de eventos, se requiere que $[X>a] \in \mathcal{F}$, entonces la probabilidad de que el evento está dada por $\mathbb{P}[X>a] \in [0,1]$.

que es, se requiere que éste sea un número entre el$0$$1$.

Por último, una de las demandas que $\mathbb{P}[X\in \mathbb{R}] = 1$

Un punto interesante es la ley de los grandes números (un teorema) que indica que al repetir el experimento (con $X_1, \ldots, X_n, \ldots$ como las variables aleatorias que representan a la reproducción del experimento (como independiente de las variables aleatorias)) el valor de la media se observa converge a la probabilidad de que el evento en cuestión (casi seguramente ).

$$\lim_{n\to \infty} \frac{\sum_{j=1}^n 1_{[X_j >a](\omega)}}{n} = \mathbb{P}[A>a]\quad \omega\; a.s.$$

Este es un resultado notable usted puede encontrar una mejor discusión sobre Durret del Libro ( Probabilidad: teoría y ejemplos). Ahí empecé.

Ahora, si hay aleatoriedad en el mundo, o si esto no es sino un modelo de utilidad es una cuestión más profunda que requiere algo más que la construcción formal que hemos hecho anteriormente. usted debe revisar esta cita de Einstein "Dios no juega a los dados" y su contraste con James Clerk Maxwell: "La verdadera lógica de este mundo es en el cálculo de probabilidades."

una discusión más completa se puede encontrar en http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_06.html

Buena suerte

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