Hadamard ' Teorema del círculo de s tres

Question

Teorema del círculo tres de Hadamard se da como sigue:

$$A(a,b)=\{z:a<|z|< b\},$$ and $f$ is a holomorphic function in this annulus $A$.

Que $$M(r) = \max_{|z|=r}|f(z)| $$for $a # < r < b$. Entonces

$$\log\left(\frac ba\right)\log(M(r)) \le\ \log\left(\frac br\right)\log(M(a)) + \log\left(\frac ra\right)\log(M(b))$$

¿Para el que no constante el $f$ tiene igualdad en esta desigualdad?

Answer 1

Deje $\lambda=\frac{\log(b/r)}{\log(b/a)}$. A continuación,$1-\lambda=\frac{\log(r/a)}{\log(b/a)}$. Dividiendo ambos lados de la ecuación por $\log(b/a)$ le da:

$$\log(M(r))\leq \lambda \log(M(a))+(1-\lambda)\log(M(b)).$$

Observe que $a^{\lambda}b^{1-\lambda}=\exp(\lambda\log(a)+(1-\lambda)\log(b))=r$ (comprobarlo!). Por lo tanto,

$$\log(M(a^\lambda b^{1-\lambda})\leq \lambda\log(M(a))+(1-\lambda)\log(M(b))$$

que es decir que $M$ es log-convexa, en ese $\log(M(\exp(z))$ es convexa en a $z$. No es difícil mostrar que las únicas veces que es conseguir la igualdad estricta de las funciones convexas es iff la función afín (lineal): $\log(M(\exp(z))=Az+B$. Por lo tanto, $M(\exp(z))=Ce^{Az}$ o $M(z)=Cz^A$

Anexo: para demostrar que todas las estrictamente la igualdad de las funciones convexas son afines, escribe:

$f''(z)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(z+h)+f(z-h)-2f(z)}{h^2}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2f(z)-2f(z)}{h^2}=0$

donde se utilizó $z=\frac{1}{2}(z+h)+\frac{1}{2}(z-h)$ y la igualdad de convexidad.

Answer 2

Si $f=cz^\lambda$ algunos $c\in\mathbb C$$\lambda\in\mathbb Z$, $f$ es holomorphic en $\mathbb C-\{0\}$, e $M(r)=|c|r^\lambda$. Por lo tanto $\log M(r)=\log c+\lambda \log r$, y

$$\log\frac br\log M(a)+\log\frac ra\log M(b)=\log\frac br\left(\log c+\lambda \log a\right)+\log\frac ra\left(\log c+\lambda \log b\right)$$ $$=(\log b\log c-\log r\log c+\lambda\log b\log a-\lambda\log r\log a)$$ $$\qquad+\ (\log r\log c-\log a\log c+\lambda\log r\log b-\lambda\log a\log b)$$ $$=\log b\log c-\lambda\log r\log a-\log a\log c+\lambda\log r\log b$$ $$=\log\frac ba\left(\log c+\lambda \log r\right)=\log\frac ba\log M(r).$$

Así, la desigualdad está saturado. Por el contrario, si $\log\frac br\log M(a)+\log\frac ra\log M(b)=\log\frac ba\log M(r)$ todos los $a<r<b$, luego

$$\log r\log\frac{M(b)}{M(a)}+(\log b\log M(a)-\log a\log M(b))=\log\frac ba\log M(r)$$

así que si dejamos $\lambda\log\frac ba=\log\frac{M(b)}{M(a)}$$c'\log\frac ba=\log b\log M(a)-\log a\log M(b)$, luego

$$\lambda\log r+c'=\log M(r)\Rightarrow M(r)=cr^\lambda$$

donde $c=e^{c'}$. Ahora desde $M(r)=\max_{|z|=r}|f(z)|$, para cada punto de $r_0$ hay un punto correspondiente a $z_0$ tal que $|f(z_0)|=M(r_0)$. Desde $f$ es continua en el círculo de radio $r_0$, $\frac d{d\theta}|f(z)|=0$ en $z_0$. También, $\frac d{dr}|f(z)|=M'(r)$. Por lo tanto, $\frac d{dz}f(z)=\psi z/|z|M'(|z|)=c\psi\lambda z^{\lambda-1}$ $z_0$ (donde $|\psi|=1$) por la de Cauchy-Riemann relaciones (es decir, el "completo" derivado de la $f$ $z_0$ es consistente con la derivada en la dirección radial se $M'(|z_0|)$.

El $|f(z_0)|\leq M(|z_0|)$ restricción es lo suficientemente fuerte (y voy a dejar esta parte para el lector) a fin de limitar el mayor de los derivados de la misma manera, por lo que, de hecho, $f(z)$ se parece a $\alpha z^\lambda$ (donde $\alpha=c\psi$) para todos los pedidos. Por lo tanto, $f(z)=\alpha z^\lambda$, pero en analíticamente continua alrededor del polo en cero, uno puede encontrar que $f$ no coincide, es decir, una rama de corte es necesario. Esto contradice la suposición de que $f$ es holomorphic en $A$, por lo que este hecho limita el conjunto de posibles $f$'s de satisfacer los criterios de$\{cz^\lambda:c,\lambda\in\mathbb C\}$$\{cz^\lambda:c\in\mathbb C,\lambda\in\mathbb Z\}$.