Ecuaciones diofánticas: Resolución $a^2$ $+$ $ b^2$ $=$ $2c^2$

Question

Yo estaba trabajando a través de algún número de los problemas de la teoría , cuando me topé con la siguiente pregunta :

Encuentre todas las soluciones de $a^2$ $+$ $b^2$ $=$ $2c^2$

Mi Solución (Parcial) :

• Podemos reescribir la ecuación anterior como : $c^2 = (a^2 + b^2)/2 $
• Así $\Rightarrow$ $a^2 , c^2 , b^2$ en una Progresión Aritmética $\Rightarrow$ existen infinitas soluciones
• WLOG , vamos a $a^2$ ser $t$ , $b^2$ ser $s$ $c^2$ $m$
• La ecuación puede ser re-escrita como $ t + s = 2m$
• Ahora , lo que yo estaba pensando era que debo resolver este Diophantine equation de $t$ & $s$ en términos de $m$ ; sustituir sus valores en la ecuación y averiguar $m$ ; y, finalmente, poner este valor de $m$ en los valores de $t$ $s$ para obtener una solución general

Alguien me puede ayudar ? Tal vez una pista ...

Answer 1

Suponga que usted tiene la relación de Pitágoras $u^2 + v^2 = c^2$
Entonces $$ \begin{align} (u^2 + v^2) + (u^2 + v^2) & = 2c^2\\ (u^2 + v^2 + 2uv) + (u^2 + v^2 - 2uv) & = 2c^2\\ (u + v)^2 + (u - v)^2 & = 2c^2\\ \end{align} $$ Por lo tanto si $a = u + v$ $b = |u - v|$
$a^2 + b^2 = 2c^2$

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Actualización

Dado cualquier terna de enteros $a, b, c : a^2 + b^2 = 2c^2$
$a^2 + b^2 \equiv 0 \mod 2$
Lo que implica $a + b \equiv 0 \mod 2$,
Por lo $a \equiv b \mod 2$ y
$a - b \equiv 0 \mod 2$

WLOG, suponga $a \ge b$
Tanto en $a + b$ $a - b$ son incluso.
Deje $2u = a + b$ $2v = a - b$
$4u^2 + 4v^2 = (a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2) = 4c^2$
$u^2 + v^2 = c^2$
es decir, $u, v, c$ es una terna Pitagórica.

Para cada terna de enteros $a, b, c : a^2 + b^2 = 2c^2$ corresponde a una terna Pitagórica.

Answer 2

Sugerencia: En $\mathbb Z[i]$, que $x:=a+bi$, $y:=c$, entonces el $x\bar x=(1+i)(1-i)y^2$. $\mathbb Z[i]$ ser UFD implica que $1+i\mid x$ o $1-i\mid x$. Si $1+i\mid x$, escriba $z:=\frac x{1+i}=\frac {x(1-i)}2=\frac{a+b}2+\frac{b-a}2i$. Entonces tenemos $(\frac{a+b}2)^2+(\frac{b-a}2)^2=z\bar z=y^2=c^2$.