¿Cómo ver que el número de particiones de % entero $n$en a más $r$ enteros positivos es igual al número de particiones de $n + r$ en exactamente $r$ enteros positivos?
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Paolo Franchi
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Usted puede encontrar una biyección entre el conjunto de particiones de $n$ en $r$ no negativo números enteros y de $n+r$ en $r$ enteros positivos.
Que $(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r)$ ser una partición de $n$ tal que $\alpha_i \geq 0, \forall i \in \{1,2,\dots,r\}.$
Entonces: $(\alpha_1 + 1, \alpha_2 + 1, \dots, \alpha_r + 1)$ es una partición del
$$ (\alpha_1 + 1) + ( \alpha_2 + 1) + \dots + (\alpha_r + 1) = (\alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_r) + (1+1+\dots + 1) = n + r$$
en $r$ enteros, que ahora son estrictamente positivos.
Kevin Dong
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El Joven diagrama de una partición de $n$ en la mayoría de los $r$ partes, y añadir un extra de caja al final de cada fila. Si hay menos de la $r$ filas, a continuación, agregue más filas de longitud, de modo que el diagrama de ha $r$ filas. De esta manera, obtenemos la Joven diagrama de una partición de $n + r$ con exactamente $r$ filas.
Para ver que esto es un bijection, es suficiente para demostrar que para todos los Jóvenes diagramas $F$ $r$ filas y $n + r$ cajas, podemos encontrar un único Jóvenes diagrama cuya imagen es $F$. Que el diagrama se puede obtener por la simple supresión de la última casilla de cada una de las $r$ filas de $F$.
DiGi
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Es una manera de considerar los diagramas de Ferrers de las particiones. Es más fácil comenzar con una partición de $n+r$ a $r$ partes. Su diagrama de Ferrers, tendrán exactamente $r$ filas. Si se quita la primera columna del diagrama, usted tendrá el diagrama de Ferrers de una partición de $n$. Este diagrama puede tener menos de $r$ filas (por qué?), pero no puede tener más, así que te has convertido en la partición de $n+r$ a $r$ partes en una partición de $n$ en la mayoría de los $r$ partes.
Para finalizar el argumento, sólo mostrar que la operación es un bijection: que se puede empezar con cualquier partición $\pi$ $n$ en la mayoría de los $r$ partes y revertir la operación para obtener una partición de $n+r$ exactamente $r$ partes que se asigna a $\pi$ por la operación descrita en el párrafo anterior.
Jon Mark Perry
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Considere la posibilidad de una Ferrer diagrama de $n$ en la mayoría de los $r$ partes.
$ooooooo\\ oooooo\\ ooo\\ o$
Por ejemplo, esta es una partición de a $17$ a $4$ partes - $17=7+6+3+1$.
Así, en este ejemplo sabemos $r\ge4$. Esto significa que podemos insertar una primera columna de tamaño exactamente $r$ para obtener una partición de $n+r$ con exactamente $r$ partes.
También necesitamos establecer un bijection, y podemos señalar que, a decir $r=4$,$17-4=13=(7-1)+(6-1)+(3-1)+(1-1)=6+5+2$, lo que se puede decir de todas las particiones aquí.
Algebrically, el número de particiones de $n$ en la mayoría de los $r$ parte está dada por el coeficiente de $x^n$ en la:
$$\prod_{k=1}^r\dfrac{1}{1-x^k}$$
En exactamente $r$ partes puede ser expresada como un coeficiente de $x^{n+r}$ en la:
$$x^r\prod_{k=1}^r\dfrac{1}{1-x^k}$$
