doble integradas obteniendo diferentes resultados

Question

Estoy tratando de calcular el $$\lim_{b \to 0^+} \int_{b}^1 \int_b^1 \frac{y-x}{(y+x)^3}dydx$$ If you plug this into wolfram, you get $-\frac{1}{2}$ and if you plug it into symbolab you get $\frac{1}{2}$ integral doble que se muestran usted que mis pasos, quieren asegurarse de que tengo la respuesta correcta.

$$\lim_{b \to 0^+} \int_{b}^1 \int_b^1 \frac{y-x}{(y+x)^3}dydx=\lim_{b \to 0^+} \int_{b}^1 \int_b^1 \frac{y+x}{(y+x)^3}-\frac{2x}{(y+x)^3}dydx$ $ $$=\lim_{b \to 0^+} \int_{b}^1 \frac{-1}{(1+x)^2}dx=\lim_{b \to 0^+} \frac{1}{1+x}\Big|_b^1=\frac{-1}{2}$ $ Solo quería verificar porque estos dos sitios web diferentes me esten dando respuestas diferentes.

Answer 1

Ambos son incorrectos. El integral es cero.

Para entender por qué, se puede ver que el integrando es antisimétrico en $x$ y $y$; específicamente, si $$f(x,y) = \frac{y-x}{(x+y)^3},$$ then $$f(y,x) = -f(x,y).$$ So on a square region $ [b, 1] ^ 2 $, the integral is always zero. Taking the limit as $ese \to 0 ^ + $ does not change this fact.

Here is how the integral should be evaluated in Mathematica:

Integrate[(y - x)/(y + x)^3, {x, b, 1}, {y, b, 1}, Assumptions -> 0 < b < 1]

The answer given is 0. If you instead entered

Integrate[(y - x)/(y + x)^3, {x, 0, 1}, {y, 0, 1}]

You will get -1/2, which is incorrect, but I should stress here that it is wrong not because Mathematica made a computational error, but because this expression is not the same as what you are actually trying to evaluate! That is to say, $$\int_{x=0}^1 \int_{y=0}^1 \frac{y-x}{(x+y)^3} \, dy \, dx \ne \lim_{b \to 0^+} \int_{x=b}^1 \int_{y=b}^1 \frac{y-x}{(x+y)^3} \, dy \, dx.$$ To give you an sense of why this is the case, try evaluating $% $ $\int_{y=0}^1 \int_{x=0}^1 \frac{y-x}{(x+y)^3} \, dx \, dy.$si haces esto en Mathematica, el resultado es 1/2 . El integrando no satisface el teorema de Fubini.

Answer 2

Puedo equivocarme pero creo que el resultado correcto es $0$. Donde creo que equivocaron es en la segunda igualdad, donde intercambian límite y el integral para un término.

Aquí esbozado algunos cálculos más detallados:\begin{align} \lim_{b \to 0} \int_b^1 \int_b^1 \frac{y-x}{(y+x)^3}dydx {}={} & \lim_{b \to 0} \int_b^1 \int_b^1 \left(\frac{y+x}{(y+x)^3}-\frac{2x}{(y+x)^3}\right)dydx \\ {}={} & \lim_{b \to 0} \int_b^1 \left( -\frac{1}{y+x}\Bigg|_{y=b}^{y=1} + \frac{2x}{2(y+x)^2}\Bigg|_{y=b}^{y=1} \right)dx \\ {}={} & \lim_{b \to 0} \int_b^1 \left( \frac{1}{b+x} -\frac{1}{1+x} + \frac{x}{(1+x)^2} -\frac{x}{(b+x)^2} \right)dx \\ {}={} & \lim_{b \to 0} \int_b^1 \left( \frac{-1}{(1+x)^2} +\frac{b}{(b+x)^2} \right)dx \\ {}={} & \lim_{b\to0} \left( \frac{1}{1+x} -\frac{b}{b+x} \Bigg|_{x=b}^{x=1} \right) \\ {}={} & \lim_{b\to0} \left( \frac{1}{2} -\frac{1}{1+b} +\frac{b}{2b} -\frac{b}{b+1} \right) \\ {}={} & 0 \end {Alinee el}