¿Está conectado $\mathcal P(X)$ $(X,\mathcal P(X),m)$ es un espacio de medida y $P(X)$ está equipado con la métrica $d(A,B) =m(A\Delta B)$?

Question

Es $\mathcal P(X)$ conectado al $(X,\mathcal P(X),m)$ es una medida de espacio y $P(X)$ está equipada con la métrica $d(A,B) =m(A\Delta B)$? Creo que cuando nos fijamos en las clases de equivalencia de casi todas partes de la relación . ¿Qué acerca de lebegu medir y X un subconjunto de los números Reales. Busque también en Problem14.12 del capítulo 3 de "Aliprantis-Burkinshaw-Principios de análisis real-3ed.1998" ; 12. Sea a la colección de todos los subconjuntos medibles de X finito de medida. Es decir, A = {B en X: m(A) < \infty}. una. Mostrar que a es un semiring. b. Definir una relación ~ en Un B ~ C si m(B \Delta C) = 0. Demostrar que ~ es un la equivalencia de la relación en A. c. Deje que D denota el conjunto de todas las clases de equivalencia de A. B Una B* indican la equivalencia de la clase de B en D. Ahora de B*, C* D definir d(B*, C*) = m(B \Delta C). Demostrar que d es bien definido y que (D, d) es un espacio métrico completo. (Para este parte, véase también el Ejercicio [3] de la Sección [31].)

Me acaba de traer el problema anterior para mostrar a los lectores lugares que d es el medidor. Necesito saber si m lebegu medir y X un subconjunto de la recta Real, es {a en P(X) | m(A) es finito} por ejemplo, cuando X=[a,b] que a,b son números reales, la conexión de un espacio con la topología inducida con medidor de d?

Algunos de ustedes han leído esta pregunta, y aquí está la última manera, yo había escrito la pregunta con un montón de ambigüedad. Permítanme decirlo una vez más( sin ambigüedad ):

mira Problem14.12 del capítulo 3 de "Aliprantis-Burkinshaw-Principios de análisis real-3ed.1998" ; 12. Sea a la colección de todos los subconjuntos medibles de X finito de medida. Es decir, A = {B en X: m(A) < \infty}. una. Mostrar que a es un semiring. b. Definir una relación ~ en Un B ~ C si m(B \Delta C) = 0. Demostrar que ~ es una relación de equivalencia en A. c. Deje que D denota el conjunto de todas las clases de equivalencia de A. B Una B* denota la clase de equivalencia de B en D. Ahora de B*, C* D definir d(B*, C*) = m(B \Delta C). Demostrar que d es bien definido y que (D, d) es un espacio métrico completo. (Para esta parte, véase también el Ejercicio [3] de la Sección [31].)

Ahora supongamos que m se lebesgu medir en números Reales y X un subconjunto de la recta Real, es (D,d) la conexión de un espacio con la topología inducida con medidor de d?

Answer 1

¿Esto dirige su pregunta final: si $X \subset \mathbb{R}$ y $m$ es la medida de Lebesgue, es $(D,d)$ un espacio métrico conectado?

Sugerencia: da $A \subset \mathbb{R}$ medible, definir $C : [0,+\infty] \to D$ $C(t) = (A \cap (-t,t))^*$. Que $C$ es continuo y que $C(0) = \emptyset^*$, $C(+\infty) = A^*$. La conclusión que $D$ camino conectado.

Answer 2

Primero de todo, $d(A,B)$ no es ni siquiera una métrica - es posible que $d(A,B)=0$ al $A\neq B$. Del mismo modo, $m(A\Delta B)$ no es necesariamente finito.

Así que al menos necesita agregar $m(X)<+\infty$ y ver el $P(X)$ modulo una relación de equivalencia $A \sim B$ si y sólo si $m(A\Delta B)=0$, o que ni siquiera tienen una métrica.

Incluso entonces, no es necesario que el espacio métrico está conectado. Si $X$ es finito con $m$ la función de conteo, $m(A)=|A|$, $\mathcal P(X)$ es sólo un espacio discreto con $2^{|X|}$ elementos como una topología en virtud de la métrica $d$.