He publicado una respuesta a esta pregunta como una respuesta a la pregunta sobre MathOverflow. Ver a mi (segundo) respuesta en http://mathoverflow.net/questions/171733. Sin embargo, como Krokop señaló, sería mejor tener una copia aquí en Matemáticas.SE a la pregunta original. Gracias a Krokop para la copia de mi respuesta a las Matemáticas.SE.
Voy a demostrar que no existe ninguna primaria antiderivada de $f_n$ al $n>2$.
Suponga $n>2$ (NOTA: Esto es importante, porque el argumento de abajo no trabajo para $n\le2$; el lector puede disfrutar de encontrar donde se rompe), y deje $K_n = {\mathbb C}\bigl(x,f_n(x)\bigr)$ ser la escuela primaria, el diferencial de campo generadas por $x$$f_n(x)$. A continuación, $K_n$ es el campo de meromorphic funciones en la normalización $\hat C_n$ de la curva algebraica $C_n$ definido por el grado mínimo $y$-monic polinomio $P_n(x,y)$ que satisface $P_n\bigl(x,f_n(x)\bigr) \equiv 0$. Este grado mínimo es $2^n$; por ejemplo, $P_2(x,y) = (y^2-x)^2-x-1$$P_3(x,y) = \bigl((y^2-x)^2-x\bigr)^2-x-1$, etc.
Desde $P_{n+1}(x,y) = (P_n(x,y)+1)^2-x-1$$n\ge 1$$P_1(x,y)=y^2-x-1$, uno ve que, al aplicar el Criterio de Eisenstein a $P_n(x,y)$ considera como un elemento de $D[y]$ $D$ la integral de dominio ${\mathbb C}[x]$, $P_n(x,y)$ es irreductible para todos los $n\ge 1$. Por lo tanto, $\hat C_n$ está conectado.
Será importante en lo que sigue observar que $K_n$ tiene una involución $\iota$ que corrige $x$ y envía $f_n(x)$$-f_n(x)$; esto es debido a que $P_n(x,y)$ es incluso un polinomio en $y$. El campo fijo de $\iota$${\mathbb C}\bigl(x,\,f_n(x)^2\bigr)$, y el $(-1)$-subespacio propio de $\iota$${\mathbb C}\bigl(x,\,f_n(x)^2\bigr)f_n(x) = K_{n-1}{\cdot}f_n(x)$.
Ahora, la curva de $C_n\subset \mathbb{CP}^2$ tiene sólo un punto de la línea en el infinito, es decir,$[1,0,0]$, pero la normalización $\hat C_n$ $2^{n-1}$ puntos de mentir sobre este punto. Se puede parametrizar como sigue: en Primer lugar, establecer el convenio que $\sqrt{u}$ significa que la única analítica de la función en el complejo de $u$-plano menos negativo del eje y $0$ que satisface $\sqrt1 = 1$$\bigl(\sqrt{u}\bigr)^2 = u$. Deje $\epsilon = (\epsilon_1,\ldots,\epsilon_{n-1})$ ser cualquier secuencia con ${\epsilon_k}^2=1$ y considerar la secuencia de las funciones de $g^\epsilon_k(t)$ definido por los criterios $g^\epsilon_1(t) = \sqrt{1+t^2}$$g^\epsilon_{k+1}(t) = \sqrt{1+\epsilon_{n-k}t g^\epsilon_k(t)}$$1\le k < n$. Elegir, como uno puede, $\delta_n>0$ lo suficientemente pequeño para que, al $t$ es complejo y satisface $|t|<\delta_n$, todas las funciones de $g^\epsilon_k$ son analíticas al $|t|<\delta_n$. En particular, se encuentra una expansión
$$
g^\epsilon_n(t)
= 1+\tfrac12\epsilon_1\,t + \tfrac18(2\epsilon_1\epsilon_2-1)t^2 + O(t^3).
$$
También, es fácil comprobar que el disco en $\mathbb{CP}^2$ definido por
$$
[x,y,1] = [1,\ t g^\epsilon_n(t),\ t^2]\qquad\text{para}\quad |t|<\delta_n
$$
es un nonsingular parametrización de una rama de $C_n$ en un barrio de el punto de $[1,0,0]$. En la normalización $\hat C_n$, esto es, a continuación, un local parametrización de una vecindad de un punto de $p_\epsilon\in \hat C_n$.
Obviamente, esto describe la $2^{n-1}$ puntos distintos en $\hat C_n$.
Al $x$ $f_n$ son considerados como meromorphic funciones en $\hat C_n$,
de ello se deduce que no hay un único local de coordenadas del gráfico de $t_\epsilon:D_\epsilon\to D(0,\delta_n)\subset \mathbb{C}$ de un disco abierto $D_\epsilon\subset \hat C_n$ $p_\epsilon$ tal que $t_\epsilon(p_\epsilon)=0$, y en el que uno
ha fórmulas
$$
x = \frac1{{t_\epsilon}^2}
\quad\text{y}\quad
f_n(x) = \frac{g^\epsilon_n(t_\epsilon)}{t_\epsilon}
= \frac{1+\tfrac12\epsilon_1\ t_\epsilon
+\tfrac18(2\epsilon_1\epsilon_2-1)\ {t_\epsilon}^2}
{t_\epsilon}
+ O({t_\epsilon}^2).
$$
En particular, se deduce que el $f_n(x)$, como una función de meromorphic en $\hat C_n$,
ha polar divisor igual a la suma de los $p_\epsilon$ y, por tanto, tiene un grado $2^{n-1}$. Por supuesto, esto implica que el divisor de cero de a $f_n(x)$ $\hat C_n$ deben ser de grado $2^{n-1}$.
Tenga en cuenta que las funciones de $g^\epsilon_k$ satisfacer $g^{-\epsilon}_k(-t) = g^{\epsilon}_k(t)$ donde $-\epsilon = (-\epsilon_1,\ldots,-\epsilon_{n-1})$.
Esto implica que $\iota(p_\epsilon) = p_{-\epsilon}$ y que
$t_\epsilon\circ\iota = -t_{-\epsilon}$.
Ahora, el $2^{n-1}$ ceros de $f_n(x)$ $\hat C_n$ son distintos, porque ellos son los ceros del polinomio $q_n(x) = P_n(x,0) = (q_{n-1}+1)^2-x-1$, y el discriminante de $q_n$, siendo la resultante de $q_n$$q_n'$, es claramente un entero impar, y por lo tanto no es cero. Por lo tanto, $C_n$ es un ramificada de cubierta doble de $C_{n-1}$, ramificados exactamente donde $f_{n}$ tiene sus ceros. Esto induce a una ramificada cubierta $\pi_n:\hat C_n\to \hat C_{n-1}$ que es exactamente el cociente de $\hat C_n$ por la involución $\iota$ (cuyos puntos fijos donde se $f_n$ tiene su ceros). Desde entonces se ha la de Riemann-Hurwitz fórmula
$$
\chi(\hat C_n) = 2\chi(\hat C_{n-1}) - B_n = 2\chi(\hat C_{n-1}) - 2^{n-1},
$$
y $\chi(\hat C_1) = \chi(\hat C_2) = 2$, la inducción da $\chi(\hat C_n) =
(3{-}n)2^{n-1}$, so the genus of $\hat C_n$ is $(n{-}3) 2^{n-2} + 1$. (Esto en realidad no será necesario más adelante, pero es interesante.)
La única polos de $x$ $f_n(x)$ $\hat C_n$ son los puntos de $p_\epsilon$,
y el cálculo utilizando las anteriores expansiones muestra que,
en un barrio de $p_\epsilon$, se tiene una expansión de la forma
$$
f_n(x)\,\mathrm{d} x
- \mathrm{d}\left(f_n(x)\bigl(\tfrac12\ x + \tfrac16\ f_n(x)^2\bigr) \right)
= \left(\frac{ (1-\epsilon_1\epsilon_2) }
{4{t_\epsilon}^2}
+ O({t_\epsilon}^{-1})\right)\ \mathrm{d} t_\epsilon\ .
$$
Por lo tanto, la meromorphic diferencial $\eta$ $\hat C_n$
definido por el lado izquierdo de esta ecuación, en el peor de los casos, el doble de los polos
en los puntos de $p_\epsilon$ y ningún otro de los polos.
Ahora, por el Teorema de Liouville, $f_n$ tiene primaria antiderivada si y sólo si $f_n(x)\ \mathrm{d} x$ y, por lo tanto, la forma $\eta$ se pueden expresar como combinaciones lineales finitas exacta de los diferenciales y de registro exacto de los diferenciales.
Por lo tanto, $f_n(x)$ tiene primaria antiderivada si y sólo si $\eta$ es expresable en la forma
$$
\eta = \mathrm{d} h + \sum_{i=1}^m c_i\,\frac{\mathrm{d} g_i}{g_i}
$$
para algunos $h,g_1,\cdots g_m\in K_n$ y algunas constantes $c_1,\ldots,c_m$. Supongamos que estos existen. Desde $\eta$, en el peor de los casos, el doble de los polos en el $p_\epsilon$ y no otros polos, se deduce que el $h$ debe tener, en el peor de los casos, simples postes en los puntos de $p_\epsilon$ y no otros polos; de hecho, $h$ está determinada únicamente hasta una constante aditiva, por su expansión en $p_\epsilon$ en términos de $t_\epsilon$ debe ser de la forma
$$
h = \frac{\epsilon_1\epsilon_2-1}{4t_\epsilon} + O(1).
$$
Por otra parte, debido a $\eta$ es impar con respecto a $\iota$, se deduce que el $h$ (después de la adición de un adecuado constante si es necesario) también debe ser impar con respecto a $\iota$. Esto implica, en particular, que $h$ se desvanece en cada uno de los ceros de $f_n$ (lo que, por el argumento anterior, son simples ceros). Esto implica que $h = r\,f_n$ algunos $r\in K_{n-1}$ que no tiene polos y satisface $r(p_\epsilon) = (\epsilon_1\epsilon_2-1)/4$ por cada $\epsilon$. Sin embargo, desde la $r$ no tiene polos y $\hat C_n$ está conectado, se deduce que el $r$ es constante. Por lo tanto, no puede tomar los dos valores distintos $0$$-1/2$, ya que la ecuación de $r(p_\epsilon) = (\epsilon_1\epsilon_2-1)/4$ implica.
Por lo tanto, el deseado $h$ no existe, y $f_n$ no puede ser integrado en la escuela primaria los términos de cualquier $n>2$.
