Un límite de una sucesión uniformemente convergente de funciones lisas

Question

¿Es posible aproximar uniformemente cada función continua $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ por funciones lisas?

¿En otras palabras, es cierto que para cada función continua $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ allí existe una secuencia $(f_n)$ de liso funciones $f_n: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ tal que $f_n \rightarrow f$ $n\rightarrow \infty$, uniformemente en $\mathbf{R}$?

Gracias.

Answer 1

Sí. Aproximar por polinomios $p_k(x)$ en cada intervalo de $[k,k+2]$ y los puso juntos usando una partición suave de la unidad: si $\phi(x)$ es una función lisa con $\phi(x) = 0$ $x \le 0$, $\phi(x) = 1$ $x \ge 1$, y $0 \le \phi(x) \le 1$ $0 \le x \le 1$, $g(x) = \phi(x-k) p_k(x) + (1 - \phi(x-k)) p_{k-1}(x)$ $k \le x \le k+1$.