Un monoid"continuo" es "completa"

Question

Deje $A$ ser un conmutativa monoid ordenado por $\leq$, que es: $$x\leq y \Rightarrow x + z \leq y +z$$ tal que la suprema $\bigvee$ de las familias índice por un conjunto $I$ existe y tal que:

$$\bigvee_{i\in I} (x_i + y) = \bigvee_{i\in I} x_i + y $$ (esto parece útil / necesario de acuerdo a Wikipedia)

Vamos a: $$\sum_{i\in I} x_i := \bigvee_{\tilde{I} \in K_I} \sum_{i\in \tilde{I}} x_i$$ donde $K_I = \{\tilde{I}\subseteq I : \tilde{I}\text{ is finite} \}$.

¿Cómo puedo mostrar la siguiente "infinito asociatividad / conmutatividad la propiedad":

Si $(I_j)_{j\in J}$ es una partición de a$I$, entonces:

$$\sum_{i\in I} x_i = \sum_{j\in J} \sum_{i\in I_j} x_i$$

Esto parece implicar la conmutación de la suprema con finito de sumas, pero no puedo averiguar cómo funciona exactamente.

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También (no de la pregunta): ¿alguien sabe cómo esta propiedad se llama en realidad?

Answer 1

Aquí es un esquema de una prueba.

Paso 1: Demostrar por inducción sobre el número de elementos en $\tilde {J}$ que si $\tilde{J}$ es finito, entonces $$\sum_{j\in \tilde{J}} \left(\bigvee_{u \in U_j} y_u \right) = \bigvee_{(u_j)_{j \in \tilde J} \in (\prod_{j \in \tilde{J}} U_j) } \left(\sum_{j \in J} y_{u_j}\right)$$ Paso 2: Utilizando el resultado del paso 1 tenemos $$\sum_{j\in J} \sum_{i\in I_j} x_i=\bigvee_{\tilde{J} \in K_J} \sum_{j\in \tilde{J}} \left(\bigvee_{\tilde{I_j} \in K_{I_j}} \sum_{i\in \tilde{I_j}} x_i\right)=\bigvee_{\tilde{J} \in K_J} \left(\bigvee_{(\tilde{I_j})_{j\in \tilde J} \in \prod_{j \in \tilde J} K_{I_j}} \sum_{j\in \tilde{J}} \sum_{i\in \tilde{I_j}} x_i\right) = \bigvee_{\tilde{J} \in K_J} \left(\bigvee_{(\tilde{I_j})_{j\in \tilde J} \in \prod_{j \in \tilde J} K_{I_j}} \sum_{i\in \cup_{j\in \tilde J}\tilde{I_j}} x_i\right)$$ Tenga en cuenta que en el último paso hemos utilizado la conmutatividad,la asociatividad, la inducción) y que $\tilde {I}_{j_1} \cap \tilde {I}_{j_2} = \emptyset$ si $j_1 \neq j_2$.

Paso 3: Observe que desde $(I_j)_{j\in J}$ es una partición de cada subconjunto finito $\tilde {I}$ $I$ se obtiene de forma única como $\cup_{j \in \tilde{J}} \tilde{I}_j$ donde $\tilde J$ es un subconjunto finito de $J$ y cada una de las $\tilde I_j$ es un subconjunto finito de $I_j$.

Paso 4: Combinar las observaciones de los pasos 2 y 3 y el uso de las propiedades básicas de combinaciones a probar el resultado deseado.