¿Cuáles son los locales Langlands conjeturas hoy en día, para grupos reductoras conectados sobre un $p$-campo adic?

Question

Permítanme insistir en que estoy solamente interesado en $p$-ádico campos en esta pregunta, por razones que serán evidentes más adelante. Quiero subrayar que, en cierto sentido, estoy básicamente, asumiendo que el lector sabe lo que es la "década de 1970 versión de la local de Langlands conjeturas" son en el momento de escribir esta pregunta---hay un montón de referencias que nos esta lejos (le doy uno a continuación que trabaja en la generalidad que me interesa).

Así que vamos a $F$ ser una extensión finita de $\mathbf{Q}_p$, vamos a $G$ ser conectado a un reductor grupo de más de $F$, vamos a $\widehat{G}$ denotar el complejo de doble grupo de $G$ (conectado a un complejo grupo Mentira) y deje ${}^LG$ el valor del $L$-grupo de $G$, la semi-producto directo de la doble grupo y la de Weil grupo de $F$ (formado utilizando un fijo algebraicas cierre de $\overline{F}$$F$).

Aquí es el "estándar", o posiblemente "estándar en la década de 1970", la manera de formular lo local Langlands debería decir (para más detalles, véase la Borel del papel "Automorphic $L$-funciones", disponible en línea (gracias AMS) aquí en el sitio web de AMS. Uno define los conjuntos $\Phi(G)$ ($\widehat{G}$-clases conjugacy admisible Weil-Deligne representaciones a partir de la de Weil-Deligne grupo a de la $L$-grupo [señalando que "admisible", incluye afirmaciones acerca de las imágenes de aterrizaje en los llamados "relevantes parabolics" en el caso general, y es bastante sutil, noción]) y $\Pi(G)$ (isomorfismo clases de suave irreductible admisible representaciones de $G(F)$), y una de las conjeturas:

LOCAL de LANGLANDS CONJETURA (ingenuo): Hay un canónica surjection $\Pi(G)\to\Phi(G)$ con un límite de fibras, satisfactorio (insertar lista de propiedades aquí).

Consulte la sección 10 de Borel del artículo para que las propiedades requeridas del mapa.

Ahora en las últimas semanas he tenido dos conversaciones con motivos geométricos Langlands tipo de personas, tanto de quienes se han burlado de mí cuando me han sugerido que esto es lo que el local de Langlands conjetura debe ser similar. Señalan que el estudio de un conjunto de representaciones hasta el isomorfismo es una muy "grueso" de la idea a día de hoy, y uno debe reformular las cosas categoría-en teoría, teniendo en cuenta Tannakian categorías de representaciones, y relacionando a...aah, bueno hay la captura. Mirando hacia atrás en lo que ambos de ellos dijo, ambos en un punto crucial se deslizó en la línea de "bueno, ahora, por simplicidad vamos a suponer que estamos en el campo de función/configuración geométrica. Ahora..." y se fue con su perversa poleas. El feliz resultado de todo esto es que ahora uno tiene una mejor formulación de los locales de Langlands, porque uno puede exigir mucho más que un canónica surjection con finito de fibras, uno puede preguntarse si dos categorías son equivalentes.

Pero he sido engañados aquí, porque estoy interesado en $p$-ádico campos. Así que sí, sí, sí, yo estoy seguro de que todo es maravilloso en el campo de función/configuración geométrica, y las cosas se han generalizado más allá de todo reconocimiento. Mi pregunta es simple:

Q) Podemos hacer mejor que el ingenuo forma de Local Langlands (es decir, hay una fuerte declaración sobre dos categorías equivalentes) al $F$ es un p-ádico de campo?

Parece ser que la respuesta "sí" en otros casos, pero tengo dudas acerca de si la respuesta es sí en el $p$-ádico caso. Incluso si alguien fuera a ser capaz de explicar algunas de generalización en el caso de que $G$ se divide, estoy seguro de que me gustaría aprender mucho. Para ser honesto, creo que me gustaría aprender mucho si alguien pudiera explicar cómo activar la surjection en una más bijective tipo de objeto, incluso en el caso de $SL(2)$. Incluso en el unramified caso! Eso es lo lejos detrás de mí! Por lo que puedo ver, el Satake isomorfismo sólo da una surjection en general, porque hay más de una clase de equivalencia de hyperspecial máxima compacto en general.

Answer 1

Vuelvo a la pregunta original. En primer lugar, el título: "¿cuáles son los locales de Langlands conjeturas hoy en día, para la conexión de la reductora grupos con una p-ádico de campo?" Yo creo que son no lejos de ser demostrado para el clásico de grupos. En primer lugar, como ustedes saben bien, que se han demostrado para la $GL_n$ a través de una $p$-ádico de campo. Entonces, (quasisplit) clásica grupos puede ser visto como twisted endoscópica grupos de algunos lineal de los grupos, es decir, el $L$-el grupo tiene una representación natural en algunos $GL_n (\mathbb{C})$, para algunas de las $n$, lo que permite identificar a su grupo con un trenzado grupo endoscópico de $GL_n$. Ahora, gracias a la próxima obra de Arthur (junto con la reciente prueba de la trenzado ponderado fundamental lema) uno será capaz de demostrar Langlands transferencia conjetura (una declaración mundial sobre número de campos) para retorcida de derecho (y de torsión) endoscopia. El uso de este, junto con algunos globalización argumentos de uno será capaz de definir de local transfert (asociada a su natural incrustación $\;^L G \hookrightarrow GL_n (\mathbb{C})$) de su clásico grupo de $G$ a $GL_n$. A continuación, puede definir L-paquets como las fibras de esta transferencia mapa...bueno todo lo que estoy diciendo es vaga, pero a mí me parece una gran parte de este programa se lleva a cabo en este artículo

http://people.math.jussieu.fr/~moeglin/paquetgeneral.pdf

Ahora a la pregunta "Q) Podemos hacer mejor que el ingenuo forma de Local Langlands (es decir, hay una fuerte declaración sobre dos categorías equivalentes) cuando F es un p-ádico de campo?", la respuesta es no, hasta ahora. En primer lugar, le me ponga un comentario sobre el real/p-ádico caso. Hay una gran diferencia entre la verdadera Mentira de los grupos caso y el p-ádico campos de caso: no hay supercuspidals real de los grupos. El "más pequeño de los bloques" de la clasificación puede identificar son discretos de la serie. En el p-ádico caso de tener algunas "pequeñas partículas elementales" que se supercuspidal representaciones. La clasificación de supercuspidals es realmente la aritmética en la naturaleza y no veo ninguna esperanza para un geométricas Langlands clasificación de tipo de supercuspidals. Todo lo que se ha hecho en el geométrica Langlands hasta mi conocimiento es mirar a los objetos como afín Grassmanians como $GL_n (k((\pi))/GL_n (k[[\pi]])$ o $GL_n(k((\pi))/I$ $I$ un Iwahori subgrupo de esto, nada más "profundidad". Hay una geométricas cosa que usted puede hacer como se ha explicado antes: se puede retroceder Lusztig teoría del campo finito caso a la profundidad de $0$-parte de la teoría de la representación de un p-ádico grupo, pero en mayor profundidad, no hay nada.

Tal vez debería thay también esto: suponiendo que se han clasificado los supercuspidals, una media aritmética de tareas, usted puede hacer algo geométrica que es la siguiente para $GL_n$ a través de una $p$-ádico de campo $F$. Usted tiene su Bernstein centro de la descomposición de la categoría de representaciones de $GL_n (F)$, cada uno está conectado a un tipo en Bushnell-Kutzko sentido y se ha calculado la Hecke álgebra de esos tipos: todos ellos son de Iwahori-Hecke álgebras. Por lo tanto, si usted tiene clasificados todos los supercuspidals, la teoría de la representación de $GL_n (F)$ va de regreso a la teoría de la representación de Iwahori-Hecke álgebras y aquí tienes todos los geométrica de la maquinaria disponible para trabajar con aquellos de la categoría de representaciones (y se puede demostrar teoremas sobre inducida por las representaciones de $GL_n(F)$ utilizando este enfoque, en particular a través de la Kazhdan-Lusztig conjetura).

Un comentario final tal vez: vamos a $\pi$ ser un supercuspidal representación de $GL_n(F)$ $\sigma(\pi)$ sus asociados irreductible representación de $W_F$. Supongamos $\pi$ es autodual, a continuación, $\pi$ es siempre ortogonal de tipo (esto se deduce del hecho de $\pi$ tiene un Kirillov modelo y por lo tanto un $1$-dimensiones subespacio invariante bajo un pacto abierto subgrupo). Pero $\sigma (\pi)$ puede no ser ortogonales, puede ser simpléctica: hay una conjetura por Prasad Ramakrishnan, he demostrado que te dice $\sigma(\pi)$ es ortogonal iff $n$ es impar. Por lo tanto, $\pi\mapsto \sigma (\pi)$ no es, ciertamente, functorial... La conjetura es en realidad más general e implica cuadrado integrable representaciones, en algunos sens hay algo "functorial" que es la siguiente: tome $D$ una división de álgebra con invariantes $1/n$$F$, $\rho$ una representación irreducible de $D^\times$, $$ \rho\otimes JL(\rho)\otimes \sigma_\ell (JL(\rho)) $$ es "canónico" ($\sigma_\ell$$\ell$- ádico local Langlands). Si hay algo categórico a buscar, está oculto detrás de esto...pero todavía estoy buscando.

Answer 2

Una breve actualización: en su increíble charla de ayer en el MSRI (disponible aquí), Laurent Fargues explicado (basándose en el trabajo de Pedro Scholze, ver su fenomenal hablar hace dos semanas aquí y su histórico de Berkeley conferencias aquí) una conjetural de imagen para el local de Langlands correspondencia como un geométricas Langlands correspondencia a través de los "Fargues-Fontaine de la curva".

[Caveat Emptor: esta es la forma en manera de salir de mi profundidad y esperemos que se acaba de impulsar a alguien atento a los comentarios.] La "curva" es un adic espacio, y de hecho representa un "diamante" como se desarrolló en Scholze de Berkeley conferencias. Esto significa que un functor en perfectoid anillos en característica p con algunas bonitas de representatividad de las propiedades. La curva está estrechamente relacionada con la diamond conectada a $\mathbb{Q}_p$ - el functor que se acopla a un perfectoid anillo el conjunto de sus untilts de característica cero.

En cualquier caso, Fargues define la pila de $\mathrm{Bun_G}$ de la curva, que se ve muy muy burdamente como $\mathrm{Bun_G}$ $\mathbb{P}^1$ - - - es decir, que tiene un (Duro-Narasimhan) estratificación donde las piezas son la clasificación de los espacios de los grupos, y corresponden a las clases de isomorfismo de Kottwitz' G-isocrystals (Frobenius-twisted clases conjugacy en el p-ádico de grupo). Por otro lado los sistemas locales para el dual de grupo en la curva son precisamente Langlands parámetros. La conjetura es un functor de estos sistemas locales para perversa poleas en $\mathrm{Bun_G}$ cuales son Hecke eigensheaves --- esta noción tiene sentido gracias a Scholze nuevo fangled versión de la [Beilinson-Drinfeld] afín Grassmannian $\mathbb{Q}_p$. El functor es requerido para satisfacer otros análogos naturales de compatibilidades de la geometría del programa de Langlands. Fargues termina la charla con diversas implicaciones de la conjetura, así como la afirmación de que funciona en el abelian caso - es decir, que uno debe tener una puramente geométrica de la construcción de locales de campo de clase de teoría.

Edit: Es importante tener en cuenta que perverso poleas en $\mathrm{Bun_G}$ de la Fargues-Fontaine de la curva están estrechamente relacionadas con las representaciones de la p-ádico grupos. Es decir, la semistable locus de $\mathrm{Bun_G}$ (si he entendido bien) es (muy aproximadamente) de una unión de clasificación de los espacios de los grupos, que son puras formas internas de nuestro grupo $\mathrm{G}$ más de nuestros p-ádico de campo. Por lo tanto la restricción de perversa poleas para estos substacks obtenemos un functor a las representaciones. Por el contrario, podríamos sueño de la ampliación de las poleas en la tesis substacks a Hecke eigensheaves en todos los de $\mathrm{Bun_G}$, y de ahí que unir a ellos Langlands parámetros. (Este podría ser completamente equivocada-pero análoga estructuras de hecho aparecen en el caso de los grupos).

Answer 3

Para elaborar Marty comentario, la simple moral se aprende tanto de la Kazhdan-Lusztig clasificación de los confiando inocentemente ramificado, de las representaciones y la realidad local Langlands clasificación es que la L-paquetes se espera que puedan ser dadas por las representaciones de los grupos de componentes de los estabilizadores (centralizadores) de representaciones de Galois, como Vogan conjeturas en general. Uno no necesita perversa poleas aquí -- estas representaciones son las mismas que equivariant sistemas locales en la representación adecuada de la variedad. En el caso real por ejemplo, la variedad de Langlands parámetros se rompe para arriba en una discreta colección de órbitas, por lo que no vemos de inmediato cualquier papel de perversa poleas-y, en cualquier caso, tan lejos como la clasificación de los objetos simples (por lo tanto, irreductible representaciones) no hay ninguna diferencia entre los sistemas locales de distintos sindicatos de estratos y perversa poleas en un interesante espacio de estos estratos.

Donde las cosas se ponen muy rico geométricamente es cuando intenta ir más allá de la clasificación de irreducibles -- en el real local Langlands historia nos podemos dar ese lujo ya que el primer paso ya está hecho. ¿Cómo se puede ir más allá? usted podría preguntarse por el carácter de las fórmulas, se relacionan estándar y módulos sencillos, o de manera más ambiciosa tratar de describir todo (derivada) de la categoría de representaciones. Adams Barbasch Vogan introducir un interesante espacio con la misma órbita de la estructura como el real Langlands parámetros, sino una mucho más interesante la geometría, y que describen el K-grupo de representaciones en términos de equivariant perversa poleas en esta variedad, la búsqueda de una adecuada geométricas contexto de Vogan el carácter de la dualidad.

De hecho, uno puede ir mucho más allá. Soergel conjeturas de un verdadero local de Langlands clasificación para toda la derivada de la categoría de representaciones (Harish-Chandra módulos) de un grupo real, que levanta Adams-Barbasch-Vogan la foto en la K-grupos. A grandes rasgos este es un derivado de la equivalencia entre equivariant perversa gavillas en el grupo de las órbitas en la bandera de variedades para Langlands doble grupos-de un lado se identifica con repeticiones a través de Beilinson-Bernstein, el otro es el ABV Langlands parámetros. Uno puede especificar esta conjetura mucho más ... se supone que es para equivariant para entrelazar los operadores/ trenza de acciones del grupo en los dos lados, y tiene una muy particular de interacción con estructuras t (Koszul la dualidad).

(Yo estaría muy interesada en conocer en qué medida se podría esperar p-ádico análogos de cualquiera de estos más refinado versiones de local Langlands-sí, lo sé, lo primero que uno podría querer probar el original conjeturas! - pero aún así es interesante sueño).

Una característica interesante aquí es que ambas partes se ven muy similares (pero para dos grupos).. es decir, una vez que interpretamos L-paquetes como sistemas locales, el Galois lado de la correspondencia se empieza a ver mucho más similar a la automorphic lado (donde estamos acostumbrados a las representaciones se realizaron, en términos de tipo de sistema de los objetos en espacios apropiados). En el geométrica Langlands configuración (que se supone no hablar de respuestas) de los dos lados se ven realmente completamente simétrica, y este es el más cercano indicación de lo que yo he visto en el "original".

Answer 4

En primer lugar, me gustaría segundo la referencia dada por JT: David Vogan, "El local de Langlands conjetura", que aparecen en la Teoría de representaciones de Grupos y Álgebras (J. Adams et al., eds. La Matemática Contemporánea 145. Sociedad Matemática Americana, 1993. Se puede encontrar en Vogan la página web

Vogan del artículo contiene una muy buena exposición de los locales de Langlands conjeturas, y Arthur local de conjeturas, y Vogan propios de las reformulaciones que me gusta. En la Conjetura 1.9, Vogan da el local de Langlands conjetura, como el OP ha dado. Luego, en la Conjetura 1.12, Vogan da un refinamiento describiendo L-paquetes, en el lenguaje de la perversa poleas (que la cooperativa puede o puede que no). Adams, Barbasch, y Vogan demostrado que esta refinamiento para el real reductora grupos, y Vogan del artículo es, sin duda influenciado por esto.

Más tarde, en la Conjetura 4.3, Vogan da una versión más detallada de Langlands original conjeturas. En la Conjetura 4.15, Vogan da un refinamiento, que parece equivalente a algunas de las conjeturas de Arthur, aunque no estoy seguro. Esto se aplica a la mayoría de los casos de interés.

Para ser más específicos, con respecto a $SL_2$ a través de una $p$-ádico de campo, uno debe, además de una Weil-Deligne representación $\phi$ a $PGL_2(C)$ -- dar una representación irreducible del grupo de componentes de la centralizador de la imagen de $\phi$.

Por ejemplo, considere la posibilidad de una irreductible constituyentes de un unramified principal de la serie de $SL_2(Q_p)$, cuya Weil-Deligne representación $\phi$ envía (geométricas, pero a quién le importa) Frobenius para la clase de una matriz diagonal $diag(-1, 1)$$PGL_2(C)$. Tenga en cuenta que esta matriz es centralizada no sólo por la diagonal de las matrices en $PGL_2(C)$, pero también por la Weyl elemento (ya que trabajamos en $PGL_2(C)$ y no sólo a $GL_2(C)$). El centralizador de la imagen de $\phi$ en el grupo $N_{\hat G}(\hat T)$ la normalización de un máximo de toro en $\hat G = PGL_2(C)$, creo. Su componente del grupo tiene orden de $2$. Desde que un grupo de orden $2$ tiene dos irreps, de hecho hay dos irreps de $SL_2(Q_p)$ con este Langlands parámetro. Esta llena la totalidad de la L-paquete-los dos irreps ocurrir como a los mandantes en el mismo director de la serie en este caso.

Yo creo que lo más útil de tratamiento de L-paquetes para $SL_2$ se puede encontrar en el reciente papel de Lansky y Raghuram, "los Conductores y newforms para $SL(2)$", publicado en el Pac. J. de Matemáticas, 2007. Es muy explícito y considera cada caso a fondo y de una manera directamente pertinentes a las formas modulares. Allí usted puede encontrar demostrado que las declaraciones que usted menciona acerca de la trivial L-paquetes están relacionados con los dos hyperspecial compacto subgrupos-también relacionado con el hecho de que "genérico" tiene dos significados posibles para $SL_2$, y las representaciones pueden ser genéricos para una órbita de carácter, y no para el otro.

Answer 5

Seguramente nada como una categoría de la equivalencia de las cuales parece estar buscando involucrar (incluso a tener una declaración?) una comprensión de lo finito fibras del mapa de llamar a los ingenuos Local Langlands. Por lo que puedo decir incluso que este es un problema difícil: para las representaciones generadas por una Iwahori fijo vector (la categoría estudiada por Borel) esto fue resuelto por Lusztig: en su trabajo con Kazhdan sobre afín Hecke álgebras son una muestra de que "L-paquetes" están dadas por las representaciones de un determinado grupo de componentes que surgen geométricamente.

Más recientemente DeBacker y Reeder han dado una descripción explícita de L-paquetes para la "profundidad cero" supercuspidal representaciones. Una de las propiedades clave que muestran estos L-paquetes que tenemos es una especie de "estabilidad", que me parece que se refieren a la representación que viene algo "geométrica" (quizás debería decir "motivic" ... hay algunas cosas interesantes en el motivic la naturaleza de los personajes por Hales y Gordon?)

También me gustaría comparar con la costumbre de juguete ejemplo de grupos finitos de tipo de Mentira: las representaciones de ( $\mathbb C$ ) se clasifican por Lusztig, y uno puede describir la clasificación en términos de datos en el doble de grupo, que en gran medida pueden ser interpretadas en el grupo complejo. La noción de estabilidad de nuevo surge al estudio del cambio de base: tratando de coincidir con las representaciones de $G(F_q)$ con ciertas representaciones de $G(F_{q^n})$. En general, esto sólo puede hacerse si el paquete juntos representaciones en cosas como lo que podría ser llamado L-paquetes (que de forma explícita se entiende). El proceso de hacerlo coincide con el proceso de la comprensión de cómo la categoría de representaciones de los grupos $G(F_q)$ comparar con la categoría de personaje gavillas en el grupo (el "geométrica" de la categoría). Incluso en este caso de los juguetes, aunque no sé un buen categórica manera de decir cómo los dos están relacionados.