Estoy estudiando Post-Newtoniana de la teoría en el libro "la Gravedad" de Poisson y Va y me encontré con un par de fórmulas que no puedo obtener por mí mismo. Estoy bastante seguro de que debe ser bastante simple, pero no puede encontrar el método correcto para obtener el resultado.
Primero de todo, una muy pequeña introducción al tema: en lugar de utilizar la métrica usual $g_{\alpha \beta}$, a la inversa gótico métrica $\mathfrak{g}^{\alpha \beta} = \sqrt{-g}\, g^{\alpha \beta}$, donde $g = \det (g_{\alpha \beta}) = \det (\mathfrak{g}^{\alpha \beta})$ (de modo que la relación puede ser fácilmente revertido para obtener la métrica usual). Entonces este inversa gótico métrica se divide en $\mathfrak{g}^{\alpha \beta} = \eta^{\alpha \beta} - h^{\alpha \beta}$ donde $\eta^{\alpha \beta}$ es el habitual de Lorenz métrica $\operatorname{diag}(1, -1, -1, -1)$ (o con el signo contrario, si prefiere) y $h^{\alpha \beta}$ es una pequeña corrección de la orden de $G$ (la constante gravitacional, un marcador de posición para algo un poco más complicado y mucho más significativa que contengan $G$).
Es fácil encontrar ese $g_{\alpha \beta} = \sqrt{-g}\, \mathfrak{g}_{\alpha \beta}$, pero ahora la cosa se complica. En las páginas 335-336 se afirma que se puede realizar una Post-Minkowskian expansión de un par de cantidades, es decir, que puede ser expresado como $\sum \limits_{n = 0}^{\infty} G^n k_{(n)}$ donde $k_{(n)}$ son funciones. Las fórmulas son estos (7.20 - 7.20 d): $$g_{\alpha \beta} = \eta_{\alpha \beta} + h_{\alpha \beta} - \frac{1}{2} h \eta_{\alpha \beta} + h_{\alpha \mu} h^{\mu}{}_{\beta} - \frac{1}{2} h h_{\alpha \beta} + \left( \frac{1}{8} h^2 + \frac{1}{4} h^{\mu \nu} h_{\mu \nu} \right) \eta_{\alpha \beta} + O(G^3)$$ $$g^{\alpha \beta} = \eta^{\alpha \beta} - h^{\alpha \beta} + \frac{1}{2} h \eta^{\alpha \beta} - \frac{1}{2} h h^{\alpha \beta} + \left( \frac{1}{8} h^2 + \frac{1}{4} h^{\mu \nu} h_{\mu \nu} \right) \eta^{\alpha \beta} + O(G^3)$$ $$(-g) = 1 - h + \frac{1}{2} h^2 - \frac{1}{2} h^{\mu \nu} h_{\mu \nu} + O(G^3)$$ $$\sqrt{-g} = 1 - \frac{1}{2}h + \frac{1}{8} h^2 - \frac{1}{4} h^{\mu \nu} h_{\mu \nu} + O(G^3)$$
"Post-Minkowskian expansión" parece tener un vago significado, como se deduce de la definición, pero supongo que aquí es solo un sinónimo de "expansión de Taylor alrededor de $h^{\alpha \beta} = 0$".
Si ese es el caso, no estoy seguro de lo que se expanda y cómo, ya que no es obvio o posible aislar la cantidad que estoy buscando porque de pares de índices y productos entre los tensores (y por el tensor quiero decir - equivocadamente - que todo lo que ha índices). Si ese no es el caso, entonces ¿cómo puedo calcular la expansión?
Traté de encontrar la solución en otros lugares, pero parece que en la literatura con respecto a la Post-Newtoniana de la teoría no es tan abundante y de este tema no está cubierto por otra persona, al menos en los artículos que he encontrado.
Edit: se me olvidó especificar que cada índice aumentar/reducir y cada contracción se hace con respecto a $\eta$. Así, por ejemplo,$h = \eta^{\mu \nu} h_{\mu \nu}$$h^{\mu}{}_{\nu} = \eta^{\mu \sigma} h_{\sigma \nu}$.
