Encontrar $\displaystyle \lim_{n\to\infty}2^n\underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt2}}}}_{n \textrm{ square roots}}$.
Por el método de la geometría, sé que esto es $\pi$. ¿Pero hay un método algebraico para encontrar esto?
Gracias.
Respuesta
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Deje $2=4\cos^{2}{\theta}$ tenemos $$\underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt2}}}}_{n \textrm{ square roots}}=4\left|\sin{\frac{\theta}{2^n}}\right|$$
Y como $n \longrightarrow \infty$ ,$\frac{\theta}{2^n} \longrightarrow 0$. Por lo tanto $\sin{\frac{\theta}{2^n}}=\frac{\theta}{2^n}+ \text{o}\left(\frac{\theta}{2^n}\right)$
$\text{Limit}=|4\theta|$
Como $\cos{\theta}=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ hemos $\theta=\pm \frac{\pi}{4}+n\pi$ $\quad ,n \in \mathrm{I}$
Aquí tomamos $\theta =\pm \frac{\pi}{4}$ (A saber por qué por favor consulte la nota en la parte inferior) .
De ahí el valor de límite de es $\pi$
Nota: la razón por la $\theta=\pm \frac{\pi}{4}$ solamente.
Sabemos que por la definición de raíz cuadrada de la función $\sqrt{x^2}=|x|$ utilizando el mismo razonamiento. Tenemos $\sqrt{2+2\cos{x}}=2\cos{\frac{x}{2}}$ fib $\cos{\frac{x}{2}}\ge 0 \Rightarrow \frac{x}{2}\in \left[2n\pi,\frac{\left(4n+1\right)\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\left(4n-1\right)\pi}{2},2n\pi\right] ,n\in \mathbb{I}$.
Como hemos aplicado el proceso para $n$ veces por cada número entero $j \le n$ necesitamos tener la siguiente desigualdad $\cos{\frac{x}{2^j}}\ge 0 \Rightarrow \frac{x}{2^j}\in \left[2N\pi,\frac{\left(4N+1\right)\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\left(4N-1\right)\pi}{2},2N\pi\right] ,N\in \mathbb{I}$.
Ahora es fácil para la razón de que nuestra $\theta$ debe pertenecer al intervalo de $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$
