Este grupo fundamental de la computación

Question

Qué es el grupo fundamental de la %#% $ #%

Yo diría que es $$X = \left\{\left(\sqrt{x^2+y^2}-2\right)^2 + z^2 = 1\right\}\cup \left\{(x,y,0)\;\; :\;\; x^2 + y^2 \leq 9\right\}\subset\mathbb R^3\,?$ causa puede deformar uno de "la clase de caminos" que generalmente el grupo fundamental de la $\,\mathbb Z\,$ $\,S^1\times S^1\,$ de estar en el camino constante.

He utilizado el teorema de Seifert van Kampen pero no estoy seguro si se usa correctamente.

¡Muchas gracias!

Answer 1

Considere la posibilidad de $C_+=$ la intersección de $X$ con el avión $z=+1$ $C_-=$ la intersección de $X$ con el avión $z=-1$, y definir $X_+=X\setminus C_-$$X_-=X\setminus C_+$. Su intersección deformación se retrae a un punto. También, $X_+\simeq X_-$ son obviamente homeomórficos, por lo que tenemos $$\pi_1X=\pi_1X_+\ast \pi_1X_-=G\ast G$$ donde $G$ es el grupo fundamental de la $X_+$. $X_+$ es homotopy equivalente a un toro de la mentira lisa y llanamente en un avión, o en la forma que se obtiene si se le ponga un círculo en un palo y girar alrededor de un eje vertical, o $Y$ donde $Y$ está construido como $X$ fue construido a excepción de que el disco use sólo tiene radio uno ahora.

Vamos a trabajar con la $Y$. Quitar el máximo círculo de radio $3$ formulario $Y$, el resultado $(Y_0)$ es homotopy equivalente a un punto. Eliminar el origen de la radio de un disco, el resultado de la $(Y_1)$ es homotopy equivalente a la de un toro. Su intersección es homotopy equivalente a la de un círculo, por lo que $$G=\pi_1Y\simeq 0\ast_{\mathbb Z}\big(\mathbb Z\times \mathbb Z\big)$$ donde debemos tener el siguiente diagrama de pushout $$\begin{array}{ccc} & x\mapsto (x,0) & \\ \mathbb Z & \longrightarrow & \mathbb Z\times \mathbb Z \\ \downarrow & &\downarrow \\ 0 & \longrightarrow & G \end{array}$$ así que debemos tener $G\simeq\mathbb Z$ $$\pi_1 X\simeq \mathbb Z\ast\mathbb Z.$$

Answer 2

He aquí una solución alternativa. Tenemos que $X$ es un toro unir con un disco que biseca el toro. Deje $X_1 \subset X$ ser el espacio que contiene el disco, dos pequeñas tiras en el toro, donde el toro y el disco se cruzan, y una pequeña franja en la parte superior de el toro que conecta el interior y el exterior de los círculos (ver diagrama a continuación).

Deje $X_2 \subset X$ ser el toro junto con pequeñas tiras de cerca fueron el toro y el disco se intersecan (de nuevo, ver a continuación).

A continuación, $X_1$ $X_2$ están abiertas, $X_1 \cup X_2 = X$ $X_1 \cap X_2$ es la ruta de acceso conectados, de manera que w emay aplicar Seifert van Kampen. Tenemos que $X_1$ retrae a un círculo, por lo $\pi_1(X_1) = \langle \alpha \rangle$. Podemos deformación retraer $X_2$ al toro, por lo $\pi_1(X_2) = \langle \beta, \gamma\rangle ~\mid~\beta\gamma\overline{\beta}\overline{\gamma}\rangle$. Finalmente, $X_1 \cap X_2 \sim S^1 \wedge S^1$, lo $\pi_1(X_1 \cap X_2) = \langle \delta, \epsilon\rangle$. Todos estos bucles se muestra en $X$ por debajo.

En el diagrama, nos encontramos con que $\delta$ $\epsilon$ son nulos homotópica en $X_1$ y $\delta \sim \epsilon \sim \beta$$X_2$, así que por SvK el grupo fundamental de la $X$ es $$\pi_1(X) = \langle \alpha, \beta, \gamma ~\mid \beta\gamma\overline{\beta}\overline{\gamma}, \beta\rangle \cong \langle \alpha, \gamma\rangle.$$