Unión incontable de múltiplos de conjuntos medibles.

Question

Para cualquier $n\in\mathbb{N}$ Consideremos el espacio medible $(\mathbb{R}^n,\mathscr{B}^n)$ , donde $\mathscr{B}^n$ es el Borel $\sigma$ -generada por la topología euclidiana en $\mathbb{R}^n$ .

Dado un conjunto medible $A\in\mathscr{B}^n$ se puede demostrar fácilmente que para cada $k\in[0,1]$ el conjunto

$k\cdot A=\{k\cdot x:x\in A\}$

también es medible. Lo que me pregunto es si podríamos demostrar o refutar (quizás con un contraejemplo) que para todo conjunto medible $A\in\mathscr{B}^n$ la unión incontable

$\displaystyle \bigcup_{k\in[0,1]}k\cdot A$

también es medible. Parece "intuitivamente claro" que esto debería ser cierto, pero hasta ahora he sido incapaz de dar ningún argumento verdaderamente riguroso para demostrarlo.

Answer 1

Tomemos un conjunto de Borel $B \subseteq [1, 2]$ tal que $\{\frac{x}{y}: x, y \in B\}$ no es Borel. Entonces $A = B^2$ es un contraejemplo.