Una organización de mujeres estaba contemplando demandar a una famosa Universidad Americana cuando se enteró que el porcentaje de mujeres que recibieron la tenencia en la Universidad era más pequeño que el porcentaje de los hombres. Pero luego se descubrió que en cada departamento, el porcentaje de mujeres que recibieron la tenencia en ese departamento fue mayor que el porcentaje de hombres que lo hicieron. ¿Cómo puede ser eso?
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Michael Hardy
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Este es el llamado de la paradoja de Simpson. La manera en que puede suceder es que las mujeres tendían a tener una mayor proporción de la facultad en los departamentos en donde menos gente de la tenencia. Imagina todos, pero uno o dos de las mujeres va en un departamento donde una de $20$ miembros de la facultad de obtener la tenencia, y todos menos uno o dos de los hombres va en un departamento que le da la titularidad a todos, excepto a un hombre. Que en el primer departamento podría negar la tenencia a todos de los pocos hombres, y las mujeres siguen estando peor en el conjunto de la universidad.
En primer lugar, echemos un vistazo a esta pregunta.
Un año Babe Ruth tenía un mayor promedio de bateo de Lou Gehrig para la primera mitad de la temporada y también para la segunda mitad de la temporada. Pero Lou Gehrig tenían un mayor promedio de bateo de toda la temporada. ¿Cómo puede que ser?
El promedio de bateo de un jugador de béisbol durante un período de tiempo $T$ $${{\#\text{ of hits during }T\text{ }(\text{successful batting attempts})}\over{\#\text{ counted at-bats }(\text{batting attempts})}}.$$La idea esencial es que la proporción de los murciélagos en la primera mitad de la temporada frente a la segunda mitad de la temporada pueden diferir de Lou Gehrig y Babe Ruth. Mientras que el promedio de bateo de la temporada es un promedio ponderado de los promedios de bateo para la primera y segunda mitad, los pesos dependen de las proporciones de contado con el bate en las dos mitades. Los jugadores proporciones deben haber sido diferente.
Puede ser demostrado que los promedios de bateo de los dos jugadores ha sido más alto en la mitad de la temporada, que los promedios de bateo de ambos jugadores en la otra mitad de la temporada. $($Por el contrario, dado un conjunto de promedios, hay un conjunto de pesos tales que el total de los promedios de bateo son "reservados".$)$ Debe ser que no era desproporcionadamente mayor en los murciélagos de Lou Gehrig en la mitad de la temporada en la que ambos jugadores se realiza bien.
Por ejemplo, supongamos que Babe Ruth golpeó $1/9$ veces en la primera mitad y $1/1$ veces en el segundo, mientras que la de Lou Gehrig golpear $0/1$ veces en la primera y $8/9$ en el segundo. A continuación, los promedios de bateo son Babe Ruth $($$.111$, $1.000$, $.200$$)$ y Lou Gehrig $($$.000$, $.889$, $.800$$)$ para los períodos de tiempo $($primer, segundo, total$)$.
Ahora vamos a la cabeza de nuevo para el problema original. Es completamente análoga a la del promedio de bateo problema anterior. Deje $D_1, D_2, \dots, D_N$ denotar los diferentes departamentos de la universidad, y$$w_k = \text{total number of women in department }D_k,$$$$w_k' = \text{número de numerario de las mujeres en }D_k,$$$$m_k = \text{total number of men in }D_k,$$$$m_k' = \text{número de titular de los hombres en }D_k.$$As seen in the solution to the batting average problem, we may have $${{w_k'}\over{w_k}} > {{m_k'}\over{m_k}}$$for all $k \le N$, and yet have$${{\sum_{k=1}^N w_k'}\over{\sum_{k=1}^N w_k}} < {{\sum_{k=1}^Nm_k'}\over{\sum_{k=1}^N m_k}}.$$There must be a department $D_\ell$ where department is relatively uncommon $($so that $w_\ell' < m_k$ for at least one $k \le N$$)$; también debemos tener$${{w_\ell}\over{\sum_{k=1}^N w_k}} > {{m_\ell}\over{\sum_{k=1}^N m_k}},$$that is, $D_\ell$ debe emplear una gran proporción de la hembra de los profesores y una proporción relativamente pequeña de los profesores varones.
