¿Cómo se deduce el área de la esfera en coordenadas polares?

Question

$A = r \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi} e^{i (\alpha+\theta)} d\alpha d\theta = r \int_{0}^{\pi} [\frac{-i}{\alpha+\theta} e^{i(\alpha + \theta)}]_{0}^{2\pi} d\theta = ... = r \int_{0}^{\pi} e^{2i\alpha} ( \frac{1}{\alpha} - \frac{1}{\alpha+2\pi} ) d\theta$

y según wolfram está mal, aquí,alpha,0,%5Cpi)) . Entonces, ¿cómo se deduce el área de una esfera en coordenadas polares?

[Editar] Trevor nos dio la fórmula $r^2 \int_{2}^{0}\int^{}_{0}sin(\phi) d\phi d\theta$ sin deducción, por deducción me refiero a las cosas en las que se basa.

1. Por qué es la función de impar $sin(\phi)$ y no en cambio una función par $cos(\phi)$ ? (Sé que lo es y puedo calcularlo pero falta alguna prueba aquí)
2. ¿Por qué no hay un término con $\theta$ pero con $\phi$ ?
3. Por qué $r^{2}$ ? -Bien es área y por simetría suena lógico pero por qué $r^{2}$ y no por ejemplo $rd$ donde $d$ ¿es alguna longitud o incluso un camino?
4. ¿Qué pasa con un caso arbitrario?
5. ¿Qué determina el orden en la integración?

Muchas cosas abiertas para deducirlo realmente.

[Editar] Zhen Lin tiene una excelente respuesta en la que señala que 2-sphere , es decir, la esfera en el espacio euclidiano tridimensional, es bidimensional. Las siguientes deducciones deben ser sobre 0-sphere y luego de forma gradual en otros. Más sobre n-sphere aquí .

1. ¿Cómo se deduce el área en 0-sphere , 1-sphere , 2-sphere y n-sphere ?
2. ¿Por qué la matriz jacobiana en 2-sphere-in-3-dim-euclidean-case sólo tienen dos variables $(\phi, \theta)$ ?
3. Son $\theta$ y $\phi$ ¿variables no libres porque están delimitadas de alguna manera por el colector (tal vez se esté empleando mal la terminología)?
4. ¿Qué es? $r$ en la esfera? Por ejemplo, en el 2-sphere ?
5. Puedo sentir que el var $r$ es de alguna manera diferente a $\phi$ y $\theta$ porque lo que es si lo derivas, cero por lo que tal vez sea un caso trivial (de nuevo probablemente abusando de la terminología, lo siento)?
6. ¿Y si $r$ depende de $t$ el tiempo, ¿qué es entonces? $\frac{\partial r}{\partial t}$ es ahora algo. Pero, ¿la dimensión extra sería ahora $t$ en lugar de $r$ ?

Por favor, utilice el término dimension en sus respuestas, creo que es muy importante entender siquiera lo que es una esfera, y mucho menos una dimensión.

[Conclusión] La solución general sigue abierta. El $r$ es una transformación homotética. Los términos $(\theta, \phi)$ están aparentemente ligados al colector, (¡ALERTA! quizás se esté utilizando una terminología errónea). La aceptación de una pregunta no significa que todo lo que aparece aquí esté resuelto. La solución de Zhen es realmente la solución que hay que mirar, ¡muchas gracias por ello!

Answer 1

Este es un diagrama que puede ayudarte a entender visualmente que el elemento de área $\text{d}A = r^2 \sin \phi \, \text{d} \phi \, \text{d} \theta.$

Obsérvese que en el diagrama $0 \le \phi \le \pi $ y $ 0 \le \theta \le 2 \pi.$

Answer 2

La prueba más sencilla es utilizar la fórmula $$A = \int_S \sqrt{\det g} \, du \, dv $$ de la geometría de Riemann, donde $g = \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}$ es el tensor métrico / primera forma fundamental y $(u, v)$ son las coordenadas del colector $S$ . Por desgracia, esto no explica nada, porque ahora la cuestión es cómo justificar esta fórmula.

Así que voy a intentar justificarlo ahora. En primer lugar, tenemos que limitarnos al caso en el que ya sabemos calcular áreas, es decir, subconjuntos del plano euclidiano. Sabemos que el área de un subconjunto $S \subset \mathbb{R}^2$ es sólo $$A = \int_S dx \, dy$$ donde $(x, y)$ son las coordenadas cartesianas estándar. Así, por ejemplo, el área de un cuadrado con esquinas $(0, 0), (a, 0), (a, b), (0, b)$ es sólo $$A = \int_0^b \int_0^a dx \, dy = ab$$ ¿Pero qué pasa con las formas que no podemos parametrizar fácilmente mediante coordenadas cartesianas? La fórmula de cambio de variables del cálculo multivariable nos dice que tenemos que introducir un factor -el determinante jacobiano- cuando hacemos esto. Por ejemplo, si utilizamos coordenadas polares planas $(r, \theta)$ entonces $$\begin{aligned} x & = r \cos \theta \\ y & = r \sin \theta \end{aligned}$$ por lo que la matriz jacobiana es $$J = \begin{pmatrix} \cos \theta & -r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end{pmatrix}$$ y el determinante jacobiano es $\det J = r$ . Por lo tanto, la forma de coordenadas polares de la fórmula general es $$A = \int_S r \, dr \, d\theta$$ y podemos utilizarlo para calcular, por ejemplo, el área de un círculo de radio $a$ : $$A = \int_0^{2\pi} \int_{0}^{a} r \, dr \, d\theta = \pi a^2$$

Pero ¿qué tiene que ver todo esto con $g$ ? Bueno, resulta que $g = J^T J$ Así, por ejemplo $$g = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2 \end{pmatrix}$$ para las coordenadas polares. Ahora, por las diversas propiedades del determinante, se deduce que en general $\det g = (\det J)^2$ es decir $\det J = \sqrt{\det g}$ . Así que esto justifica la fórmula del principio de mi post.

Ahora apliquemos esta fórmula a la esfera. Tenemos las coordenadas polares esféricas $(\phi, \theta)$ tal que $$\begin{aligned} x & = r \cos \theta \sin \phi \\ y & = r \sin \theta \sin \phi \\ z & = r \cos \phi \end{aligned}$$ y esto da el jacobiano $$J = \begin{pmatrix} r \cos \theta \cos \phi & -r \sin \theta \sin \phi \\ r \sin \theta \cos \phi & r \cos \theta \sin \phi \\ -r \sin \phi & 0 \end{pmatrix}$$ por lo que la métrica es $$g = J^T J = \begin{pmatrix} r^2 & 0 \\ 0 & (r \sin \phi)^2 \end{pmatrix}$$ por lo que el área de la esfera es sólo $$A = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi r^2 \sin \phi \, d\phi \, d\theta = 4 \pi r^2$$ como todos sabemos.

Answer 3

Intentaré responder a la 1, 2 y 3.. Probablemente sea mejor hacer un dibujo, pero también se puede entender "algebraicamente". Un elemento de área " $d\phi \; d\theta$ " cerca de uno de los polos es realmente pequeña, tendiendo a cero a medida que te acercas al polo norte o al polo sur de la esfera. Cerca del ecuador, el área tiende a parecerse a una superficie plana. Esto corresponde (cualitativamente) al factor $\sin(\phi)$ que llega a cero cuando $\phi$ se pone a 0 o $\pi$ y es igual a 1 para $\pi / 2$ .

No hay $\theta$ -ya que el elemento área no depende de su $\theta$ -coordenadas (es decir, caminar en paralelo al ecuador no debería cambiar su elemento de área). Sus coordenadas son axisimétricas con respecto al eje que pasa por ambos polos.

Por último, ¿por qué el resultado debería depender de alguna otra longitud $d$ ? No aparece en la descripción del problema, así que encontrarlo en tu resultado final debería ser muy sospechoso (todo lo que estás haciendo es un poco de cálculo, no hay matemáticas exóticas involucradas que puedan introducir tal parámetro).

Answer 4

La superficie de una esfera sería $r^2 \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \sin(\phi) \ d \phi \ d \theta$ . Esto es en coordenadas esféricas.

Answer 5

He redibujado el cuadro a mi manera, lo mejor y más claro posible.

Responderé a su pregunta una por una.

Una esfera es el lugar de un punto descrito en 3 dimensiones espacio tal que su distancia a un punto fijo en el espacio permanece constante.

Ahora, como puedes ver en la figura, con un poco de trigonometría, puedes convencerte de que su radio será $r sin \theta$ ( $\theta$ se mide desde el eje Z hacia el plano X-Y) y no simplemente $r$ . Ahora para un pequeño cambio en $\theta$ la longitud del arco hecho el radio es $r d \theta$ y aquí está la cosa, el elemento de anillo pequeño puede ser aproximado como un cilindro de altura $r d \theta$ y el radio efectivo $r sin \theta$ . Por lo tanto, el área del elemento del anillo será

$ \displaystyle{ dA = 2 \pi (r sin \theta) (r d\theta) }$

Dado que la superficie curva de un cilindro es $2 \pi (r) (h)$

La integración se hará sobre los límites de 0 a $\pi$ y no 0 a $2 \pi$ para $\theta$ ya que el elemento anular ya está cubriendo el área alrededor del eje Z en sus dos lados (quedará claro en la imagen), por lo que el área total de la esfera es

$ \displaystyle{ A = 2 \pi {r}^{2} \int _{0} ^{\pi} {sin \theta d\theta} }$

Lo que equivale a,

$ \displaystyle{ A = 2 \pi {r}^{2} [- cos \pi - (-cos 0)]}$

$ \displaystyle{ \implies A = 2 \pi {r}^{2} [- (-1) +1]}$

$ \displaystyle{ \implies A = 4 \pi {r}^{2} }$

Así que ahora responda a las otras preguntas, que usted pidió.

Por qué ${r}^{2}$ y no $r d$ ?

porque el $d$ aquí resulta ser $r sin \theta$ y, por tanto, se simplifica aún más la expresión.

Por qué la función impar $sin \theta$ y no $cos \theta$ ?

Buena pregunta, viene porque es la integración con respecto a $d \theta$ da la función $- cos \theta$ que es par, respetando así la simetría que se esperaba.

Si se pregunta dónde están estos términos,

$ \displaystyle{ \int _{0} ^{2 \pi} {d\phi} }$

Esta es la razón,

$ \displaystyle{ 2 \pi = \int _{0} ^{2 \pi} {d\phi} }$

Este $2 \pi$ proviene del término de la circunferencia, que se debe al ángulo $\phi$ que es el ángulo medido desde el eje X hacia el eje Y.

Esto también responde a tu pregunta sobre el orden de integración, realmente no importa. En mi caso, primero integré $d \phi$ y luego $d \theta$ también puede ser al revés, por lo que se puede elegir un semicírculo elemental ( $\theta$ ) sobre la esfera y luego hacerla girar alrededor de la esfera ( $\phi$ ) resumiendo así la zona o puedes hacerlo como lo hice yo.

No utilicé palabras rebuscadas como colector, superficies de Riemann, jacobiano, etc., y creo que tampoco eran necesarias aquí

Y si r varía con el tiempo t, entonces

$ \displaystyle{ \frac{dA}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt} }$