En primer lugar, ${\bf R}^2$, no es un campo. Déjame construir la idea que usted desea. Si $L/K$ es una extensión de campo, a continuación, en particular, $L$ es un espacio vectorial sobre $K$, y el grado de la extensión de $[L:K]$ se define como la dimensión$\dim_KL$$L$$K$. Así que tal vez desee pedir a
Pregunta: ¿Qué tipo de grado $2$ extensiones de los reales hay?
Respuesta: Los números complejos son los únicos que dicha extensión.
Esto requiere sólo el más básico de la teoría del campo; si $K/{\bf R}$ es un grado dos de extensión, a continuación, $K={\bf R}(a)$ cualquier $a\in K\setminus{\bf R}$, y un $a$ tiene un mínimo de polinomio de grado dos en $\bf R$, la única irreducibles sobre $\bf R$ son de la forma$(x+s)^2+b$$b>0$, lo ${\bf R}(a)\cong {\bf R}(\sqrt{-b})={\bf R}(i)={\bf C}$.
Nota: la notación $F(a)$ donde $F$ es de campo, significa "la más pequeña de campo que contenga $F$$a$," donde $a$ vive en algún campo que contenga $F$.
Hay muchos campos en los que figure $\bf R$ no sólo en el de $\bf C$. La teoría de campo da maneras de construir el campo de las extensiones de cualquier campo, de hecho. Aquí hay una manera: si $F$ es un campo que no es algebraicamente cerrado, entonces hay algunas polinomio $p(x)\in F[x]$ que no tiene una raíz en $F$, y podemos lindan con una raíz del polinomio a $F$ mediante el cociente del anillo de $F[x]/(p(x))$.
(Sin embargo, sí tiene sentido lindan con diferentes raíces y obtener distintas extensiones, a pesar de que las extensiones son isomorfos como campos, desde la perspectiva de algunos que recubre campo $L/F$. Por ejemplo, contigua a la verdadera raíz cúbica de a $2$ $\bf Q$y contiguo al complejo de la raíz cúbica de a $2$ $\bf Q$la producción de dos distintos campos de número, campo finito extensiones de $\bf Q$.)
Otra forma es unirse a un trascendental elemento. Si $F$ es un campo y queremos $T$ a ser un elemento trascendental$F$, $F(T)$ puede ser pensado como el campo de todas las funciones racionales en la variable $T$ con coeficientes de $F$. (En el caso de característica positiva, debemos ser rápidos nota que dos funciones racionales, en realidad de dos polinomios, puede actuar de la misma función aunque son diferentes expresiones abstractas.)
Esto tiene sentido: si hay dos distintas funciones racionales $a(\cdot)/b(\cdot)$ $c(\cdot)/d(\cdot)$ tal que $a(T)/b(T)=c(T)/d(T)$$F(T)$, $a(T)d(T)-b(T)c(T)=0$ hacer $T$ algebraica, una contradicción. Por lo tanto $F(T)$ contiene todas las funciones racionales en $T$ como elementos distintos, y por definición de minimality esto significa $F(T)$ necesidad no contienen otros elementos.
Hay un analíticamente inspirado camino de la creación de los campos que yo también lo nota. Si un campo $F$ también es un espacio métrico, entonces el espacio métrico de la finalización del campo de $F$ también será un campo. Esto puede ser construido de manera abstracta como el anillo de todas las secuencias de elementos de $F$ que son de Cauchy con respecto a la métrica, el modulo de la máxima ideal compuesto de secuencias nulas (aquellos en los que convergen a $0$ en la métrica).
Pregunta: ¿Qué tipo de formas que hay para la construcción de nuevos campos a partir de las viejas?
Respuesta: Contigua algebraicas elementos, junto trascendental de los elementos, completando con respecto a una métrica, la toma de ciertos tipos de cierres.
Un ejemplo de un cierre es una clausura algebraica de un campo. Podemos decir $\bar{F}$ algebraica de cierre de $F$ es es (i) algebraicamente cerrado, (ii) contiene $F$, y (iii) no hay ningún campo que se extiende entre los $\bar{F}$ $F$ que también es algebraicamente cerrado. De hecho, cualquiera de los dos algebraica de los cierres de un campo de $F$ va a ser isomorfo (un hecho que requiere una cierta cantidad de su elección.) Podemos limitarnos a demás dispositivos de cierre, tales como la máxima abelian extensión, máximas (total/confiando inocentemente) ramificado, extensiones, etc.
No hay más que decir acerca de la singularidad de extensiones de campo y su relación con la $\bf C$ que en la primera sección anterior. De hecho, con el axioma de elección,
Pregunta ¿cuántos algebraicamente cerrado campos de cardenal tamaño de $\kappa\ge{\frak c}:=|{\bf R}|$ hay?
Respuesta: siempre Hay sólo uno, hasta el isomorfismo.
Yo en realidad no sé cómo probar tal hecho.
