Demostrar que los cuadrados de las rv normales se distribuyen por Chi-cuadrado

Question

Empiezo con tres variables aleatorias independientes, $X_1, X_2, X_3$ . Cada uno de ellos se distribuye normalmente con:

$$X_i \sim N(\mu_i, \sigma^2), i = 1, 2, 3.$$

Entonces tengo tres transformaciones,

$$\eqalign{ Y_1 &= -X_1/\sqrt{2} + X_2/\sqrt{2} \cr Y_2 &= -X_1/\sqrt{3} - X_2/\sqrt{3} + X_3/\sqrt{3} \cr Y_3 &= X_1/\sqrt{6} + X_2/\sqrt{6} + 2X_3 / \sqrt{6} \cr }$$

Se supone que debo mostrar que cuando $\mu_i = 0,$ $i = 1, 2, 3,$ $(Y_1^2 + Y_2^2 + Y_3^2)/\sigma^2 \sim \chi^2(3)$ . También he mostrado las transformaciones para preservar la independencia, ya que la matriz de transformación es ortogonal.

Ya he demostrado que las expectativas de $Y_1, Y_2, Y_3$ es 0 y sus varianzas son todas iguales. Utilizando la pdf normal, he demostrado que:

$$Y_i^2 \sim \frac{1}{2\pi\sigma^2} \exp(-2x^2 / 2\sigma^2).$$

Pensé en aplicar una sustitución de $z = 2x^2 / \sigma^2$ para obtener el exponente en una forma similar a la del chi-cuadrado $\exp(-x/2)$ pero no sé qué hacer con las constantes de fuera para que se parezcan. ¿Podría alguien echarme una mano?

Answer 1

Quiero ofrecer una solución desde el punto de vista del álgebra matricial.

Dejemos que $$ U' = \left[\begin{matrix} -1/\sqrt{2} && 1/\sqrt{2} && 0 \\ -1/\sqrt{3} && -1/\sqrt{3} && 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{6} && 1/\sqrt{6} && 2/\sqrt{6} \end{matrix}\right]$$

Como $Y = U'X$ ,

$$E(Y) = E(U'X) = U' \cdot 0 = 0$$ $$Var(Y) = U' Var(X) U = \sigma^2 U' U = \sigma^2 I $$

Puedes ver $Y_1, Y_2, Y_3$ en $Y$ son todos los siguientes $N(0, \sigma^2)$ y son independientes entre sí. Entonces se puede demostrar $Y_i^2/\sigma^2 \sim \chi^2(1)$ y, por último, $(Y_1^2 + Y_2^2 + Y_3^2)/\sigma^2 \sim \chi^2(3)$

Answer 2

Tenemos $X_1\sim N(\mu_1,\sigma^2)$ y $X_2\sim N(\mu_2,\sigma^2)$ Por lo tanto

$$EY_1=E(-X_1/\sqrt{2}+X_2/\sqrt{2})=-1/\sqrt{2}EX_1+1/\sqrt{2}EX_2=0$$

\begin{align*} EY_1^2&=E(-X_1/\sqrt{2}+X_2/\sqrt{2})^2\\\\ &=E(X_1/\sqrt{2})^2-2E(X_1X_2/2)+E(X_2/\sqrt{2})^2\\\\ &=1/2\sigma^2+1/2\sigma^2=\sigma^2 \end{align*}

Por lo tanto, $Y_1\sim N(0,\sigma^2)$ ya que es la combinación lineal de variables normales.

Del mismo modo, obtenemos $Y_2\sim N(0,\sigma^2)$ y $Y_3\sim N(0,\sigma^2)$

Ahora

$$EY_1Y_2=1/\sqrt{6}E(X_1)^2-1/\sqrt{6}EX_2^2=0$$

y de manera similar $EY_2Y_3=EY_1Y_3=0$ Por lo tanto $Y_1$ , $Y_2$ y $Y_3$ son independientes, ya que para las variables normales la independencia coincide con la correlación cero.

Una vez establecido que tenemos

$$(Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2)/\sigma^2=\left(\frac{Y_1}{\sigma}\right)^2+\left(\frac{Y_2}{\sigma}\right)^2+\left(\frac{Y_3}{\sigma}\right)^2=Z_1^2+Z_2^2+Z_3^2$$ ,

donde $Z_i=Y_i/\sigma$ . Desde $Y_i\sim N(0,\sigma^2)$ tenemos $Z_i\sim N(0,1)$ .

Hemos demostrado que nuestra cantidad de interés es una suma de cuadrados de 3 variables normales estándar independientes, que por definición es $\chi^2$ con 3 grados de libertad.

Como he dicho en los comentarios no es necesario calcular las densidades. Si por el contrario quieres hacerlo, tu fórmula es incorrecta. He aquí la razón. Denota por $G(x)$ distribución de $Y_1^2$ y $F(x)$ la distribución de $Y_1$ . Entonces tenemos

$$G(x)=P(Y_1^2<x)=P(-\sqrt{x}<Y_1<\sqrt{x})=F(\sqrt{x})-F(-\sqrt{x})$$

Ahora la densidad de $Y_1^2$ es $G'(x)$ Así que

$$G'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}(F'(\sqrt{x})+F'(-\sqrt{x})$$

Tenemos que

$$F'(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{\sigma^2}},$$

así que

$$G'(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi x}}e^{-\frac{x}{2}}$$

Si $\sigma^2=1$ tenemos un pdf de $\chi^2$ con un grado de libertad. (Obsérvese que para $Z_1$ en lugar de $Y_1$ el cálculo es similar y $\sigma^2=1$ ) Como señaló @whuber, esto es gamma y la suma de distribuciones gamma independientes es de nuevo gamma, la fórmula exacta se proporciona en la página de la wikipedia.

Answer 3

¿Has probado a multiplicar simplemente los Y^2 al cuadrado en términos de los términos X[1:3]? Sospecho que cuando hayas terminado verás que simplemente tienes (1/2 +1/3 +1/6)* X1^2 + (1/2 +1/3 +1/6)*X2^2 + (1/2 +1/3 +1/6)*X3^2 . Esto, por supuesto, supone que X1X3=X3X1, es decir, que tu álgebra de variables aleatorias es conmutativa, pero a menos que estés trabajando con variables complejas en física de partículas, esa suposición debería mantenerse. Hasta ahora he llegado más o menos a la mitad del camino, y mi enfoque parece mantenerse. Parece que sería útil que tú hicieras el ejercicio, en lugar de que yo lo expusiera.