No entender el caso en$G$ es abeliano con cada elemento de orden$2$

Question

Supongamos que un abelian finito grupo $G$ ( $o(G)>2$ ) tiene cada elemento de identidad de la orden de $2$. Mostrar que existe un no-trivial automorphism en $G$.

Después de un poco de búsqueda, he encontrado un par de preguntas similares que han sido formuladas y contestadas en este sitio. Esta es la pregunta cuya respuesta ha sido casi siempre dado por tomar un recurso para Espacios Vectoriales y describir algunas extraña relación con $\mathbb Z/2\mathbb Z$. Yo no podía entender cualquiera de esas respuestas.

Mi experiencia: yo he hecho un curso de Álgebra Lineal y por lo tanto yo sé algo sobre Espacios Vectoriales. He empezado Grupo de aprendizaje de la Teoría y la acabo de leer acerca de isomorfismo. Sé la primera ley de isomorfismo, pero nada más. Ningún conocimiento de cómo uno de repente se habla de espacios vectoriales al responder a una pregunta sobre el álgebra abstracta. Y es curioso que todas las respuestas son bastante exactamente la misma. Es este problema es muy conocido? La encontré en Tipics de Álgebra como un "destacado" el ejercicio.

Por favor explique si esta pregunta puede ser contestada dentro de la Teoría de Grupo único. Me refiero, por no hablar de espacios vectoriales. Si se siente más cómodo con un espacio vectorial argumento, eso está bien conmigo, pero por favor explique cada una de las cosas claramente. Muchas gracias.

Answer 1

El teorema fundamental de abelian grupos (es decir, es un producto cíclico de cada uno de los grupos del primer poder de la orden) significa que su grupo es un producto de 2 o más copias de ${\mathbb{Z}_2}$ (de lo contrario se puede encontrar un elemento de orden superior a 2). Decir que hay un $n$ copias. A continuación, el grupo de automorfismos contiene un subgrupo (tal vez incluso de todo el grupo) isomorfo a $S_n$, es decir, el grupo de permutaciones de su $n$ copias de ${\mathbb Z}_2$. En otras palabras, el elemento con un solo 1 en uno de sus $n$ entradas y 0 en el resto de las entradas se pueden asignar a cualquier otro elemento, así que usted puede permutar las posiciones de la 1 de la forma que usted desee.

Answer 2

Sin recurrir a teoremas como la estructura de los grupos abelianos finitos:

• Usted sabe que su grupo es abeliano, puesto$$e=(ab)^2=abab\implies a^{-1}b^{-1}=ba\implies ab=ba$ $

• Usted sabe que usted tiene al menos cuatro elementos distintos en su grupo:$e,a,b,ab$.

• Usted sabe que el$G\cong\{e,a,b,ab\}\times H$ para algún grupo$H$, puesto$G$ es abeliano.

• Haga su mapa automorphism$a\leftrightarrow b$ de$G\cong\{e,a,b,ab\}\times H$.

Answer 3

Se puede demostrar fácilmente utilizando el teorema de estructura que finita grupos abelianos en el que cada elemento tiene orden$2$ o$1$ son de la forma$\underbrace{\mathbb Z_2\times \mathbb Z_2\dots \times \mathbb Z_2}_n$.

Una automorphism no trivial para un grupo de esta forma envía$(a_1,a_2\dots ,a_n)$ a$(a_2,a_1\dots ,a_n)$

Answer 4

La razón para el interruptor automático de la lengua a "espacios vectoriales mod 2" es que es uno de los dos equivalentes de descripciones de lo que cualquier grupo de este tipo que se parece (hasta el isomorfismo), pero se tiene la ventaja sobre el segundo (descripción de lo que opina el grupo como un producto de 2 elementos subgrupos) de ser canónica. La descomposición de un grupo en forma independiente 2-elemento de piezas requiere más opciones arbitrarias, exactamente igual que la elección de una base en un espacio vectorial. Para los propósitos de la teoría y la comprensión, por lo general es mejor evitar pensar en base dependientes o no canónicos términos.

También, una vez que la estructura de espacio vectorial es reconocido, todos los hechos de álgebra lineal (sobre campos finitos) pueden entrar en el juego.

El vector de estructura no es tan malo: los elementos de este grupo son los vectores y la multiplicación del grupo es la adición. Elemento de identidad es el $0$. No hay necesidad de preocuparse acerca de la multiplicación escalar debido a que el único escalares aquí se $0$$1$.

Desde que le preguntó acerca de automorfismos, aquí hay una gran ventaja del espacio vectorial punto de vista. Una construcción de todos los automorfismos, y un medio de analizar la estructura de la automorphism grupo, por analogía con los ordinarios de álgebra lineal reales, complejos o de números racionales en lugar de campos finitos. Para la construcción de los automorfismos, elija una base (esto no contradice lo que he escrito antes!) y anote todas las $n \times n$ matriz llena de $0$'s y $1's$ tal que el determinante $\mod 2$ es igual a $1$. Las transformaciones lineales representados, en la opción de base, por ejemplo las matrices de todos los automorfismos del grupo. Con o sin elegir una base, el análisis estructural de los automorfismos puede proceder como en el caso real de un espacio vectorial. Por ejemplo, no hay una única automorphism mover cualquier $k$ linealmente independiente puntos a cualquier otro $k$ linealmente independiente puntos, donde $k$ es la dimensión de la $G$ como un espacio vectorial, debido a que esta es una propiedad de la linealidad de los mapas. Nada de esto es tan visibles en el "finito abelian grupos de" punto de vista.