No sé cómo empezar con esta prueba, ¿cómo puedo hacerlo? $$ \limsup ( a_n b_n ) \leqslant \limsup a_n \limsup b_n $$ También tengo que probar, si $ \lim a_n $ existe entonces: $$ \limsup ( a_n b_n ) = \limsup a_n \limsup b_n $$ Ayuda por favor, no es una tarea que quiera aprender.
La idea básica es lo que podría llamarse la monotonicidad de $\sup$ : el sumo sobre un conjunto es al menos tan grande como el sumo sobre un subconjunto.
Por supuesto, esto sólo tiene sentido si el producto de la $\limsup$ s no es $0\cdot\infty$ o $\infty\cdot0$ . También suponemos que $a_n,b_n\gt0$ . Para ver que esto es necesario, consideremos las secuencias $a_n,b_n=(-1)^n-2$ .
Recordemos la definición de $\limsup$ : $$ \limsup_{n\to\infty}a_n=\lim_{k\to\infty\vphantom{d^{d^a}}}\sup_{n>k}a_n\tag{1} $$ El límite en $(1)$ existe ya que, por la monotonicidad de $\sup$ , $\sup\limits_{n>k}a_n$ es una secuencia decreciente.
Además, también por la monotonicidad de $\sup$ , si $a_n,b_n\gt0$ , $$ \sup_{n>k}a_n \sup_{n>k}b_n=\sup_{m,n>k}a_nb_m\ge\sup_{n>k}a_nb_n\tag{2} $$ Tomando el límite de $(2)$ como $k\to\infty$ rinde $$ \limsup_{n\to\infty}a_n\limsup_{n\to\infty}b_n\ge\limsup_{n\to\infty}a_nb_n\tag{3} $$ ya que el límite de un producto es el producto de los límites.
Si el límite de $a_n$ existe, tenemos que para cualquier $\epsilon>0$ Hay un $N$ para que $n>N$ implica $$ a_n\ge\lim_{n\to\infty}a_n-\epsilon\tag{4} $$ Nos interesan las pequeñas $\epsilon$ , por lo que no está de más suponer $\epsilon\lt\lim\limits_{n\to\infty}a_n$ .
Así, para $k>N$ , si $a_n,b_n\gt0$ , $$ \sup_{n>k}a_nb_n\ge\left(\lim_{n\to\infty}a_n-\epsilon\right)\sup_{n>k}b_n\tag{5} $$ tomando el límite de $(5)$ como $k\to\infty$ rinde $$ \limsup_{n\to\infty}a_nb_n\ge\left(\lim_{n\to\infty}a_n-\epsilon\right)\limsup_{n\to\infty}b_n\tag{6} $$ Desde $\epsilon$ es arbitrariamente pequeño, $(6)$ se convierte en $$ \limsup_{n\to\infty}a_nb_n\ge\lim_{n\to\infty}a_n\limsup_{n\to\infty}b_n\tag{7} $$ Combinando $(3)$ y $(7)$ rinde $$ \limsup_{n\to\infty}a_nb_n=\lim_{n\to\infty}a_n\limsup_{n\to\infty}b_n\tag{8} $$ desde $\displaystyle\limsup_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_n$ .
Realmente necesitas la positividad de $a_n$ para que esto funcione, pero su prueba nunca lo menciona.
@ThomasAndrews: se utilizó implícitamente en $(2)$ y $(5)$ . Se me escapó que esto no estaba indicado en la pregunta, así que lo he añadido a esos pasos.
También necesitas que las secuencias estén acotadas si quieres realizar manipulaciones algebraicas con ellas, ¿no? De lo contrario, las lim sup podrían no ser finitas
$$\{{a_m}\cdot {b_m}:m\geqslant n\}\subseteq \{{a_m}\cdot {b_k}:m,k\geqslant n\}$$
ya que estamos emparejando elementos de dos conjuntos juntos en el primer conjunto mientras que sacamos cada elemento al azar de dos conjuntos en el segundo conjunto. Tomando el supremum tenemos:
$$\sup\{{a_m}\cdot {b_m}:m\geqslant n\}\leqslant\sup\{{a_m}\cdot {b_k}:m,k\geqslant n\}\\=\sup\{{a_m}:m\geqslant n\}\cdot\sup\{{b_m}:m\geqslant n\}$$
que se ve al utilizar el $\textbf{lemma}$ : $\sup (A*B)=\sup A* \sup B$ , donde $(A*B)=\{a*b:a\in A,b\in B\}$ .
Tomando el límite en la desigualdad anterior da:
$$\lim_{n\to\infty}\sup\{{a_m}\cdot{b_m}:m\geqslant n\}\leqslant \lim_{n\to\infty}\sup\{{a_m}\cdot{b_k}:m,k\geqslant n\}\\=\lim_{n\to\infty}\sup\{\{{a_m}:m\geqslant n\} \cdot\lim_{n\to\infty} \sup\{\{{b_m}:m\geqslant n\}$$ $$Q.E.D$$
Prueba de $\textbf{lemma}$ : En primer lugar, observamos que para cualquier $x,X,y,Y\in\mathbb R$ a partir de las desigualdades $$x\leq X\\y\leq Y$$ se deduce que $xy\leq XY$ si $x\ge 0$ y $Y\ge 0$ o si $y\ge 0$ y $X\ge 0$ (una condición suficiente).
Así, si $a\ge 0,\,\forall a\in A$ y $\sup B\ge 0$ o si $b\ge 0,\forall b\in B$ y $\sup A\ge 0$ tenemos $$\forall c\in A*B,\exists a\in A,b\in B,s.t.c=a\cdot b\leqslant \sup A *\sup B$$ Así que $A*B$ está limitada por $\sup A *\sup B$ .
Ahora, si $a\ge 0,\,\forall a\in A$ y $\sup B> 0$ o si $b\ge 0,\forall b\in B$ y $\sup A> 0$ para un tamaño lo suficientemente pequeño $\epsilon$ tenemos $$\forall \varepsilon \gt 0,\exists a \in A,b \in B ,s.t.a \gt \sup A-\varepsilon ,b \gt \sup B -\varepsilon ,\\a\cdot b\gt {\sup A }\cdot {\sup B}-\varepsilon\cdot \big(\sup A+\sup B)- {\varepsilon}^{2}$$
Así que cualquier número menor que $\sup A *\sup B $ no es un límite superior. Así, $\sup A *\sup B $ es el límite superior mínimo.
Asumo que todos los valores relevantes son positivos, ya que de lo contrario esto es falso. Tenga en cuenta que siempre que $\limsup(a_nb_n)$ existe, tenemos alguna subsecuencia $(a_n'b_n')$ de $(a_nb_n)$ que converge a $\limsup(a_nb_n)$ . Para cualquier $\epsilon>0$ tenemos algunos $N$ tal que $$k\geq N\implies a_k'b_k'>\limsup(a_nb_n)-\epsilon\text{ and } b_k'<\limsup(b_n)+\epsilon$$ y así tenemos $$k\geq N\implies a_k'>\frac{\limsup(a_nb_n)-\epsilon}{b_k'}>\frac{\limsup(a_nb_n)-\epsilon}{\limsup(b_n)+\epsilon}$$ y esto va para $\frac{\limsup(a_nb_n)}{\limsup(b_n)}$ como $\epsilon\to 0,k\to\infty$ dándonos $\limsup(a_n)\geq \frac{\limsup(a_nb_n)}{\limsup(b_n)}$ así que $$\limsup(a_n)\limsup(b_n)\geq \limsup(a_nb_n).$$ Dejaré el caso en el que $\lim\limits_{n\to\infty}(a_n)$ existe para usted, ya que es similar.
Estoy haciendo este CW, siéntase libre de añadir otras referencias.
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En ambos casos se necesita el supuesto $a_n\geq0$ y $b_n\geq0$ (para $n$ suficientemente grande). (¿Puedes ver algunos contraejemplos?)
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¿Puede proponer alguna? Hace tiempo que tenía la impresión (mucho antes de ver este post) de que si $lim\{a_{n}\}$ existe y $\varlimsup\{b_{n}\} \rightarrow B < 0$ entonces la igualdad se mantiene.