¿Cuándo tiene Cantor-Bernstein?

Question

El Cantor-Bernstein teorema de la categoría de conjuntos (Un inyecta en B, B inyecta en A => a, B equivalente) sostiene que en otras categorías, tales como espacios vectoriales, compacto métrica espacios, Noetherian topológicas de los espacios de dimensión finita y ordenada de conjuntos.

Sin embargo, fracasa en el resto de categorías: espacios topológicos, grupos, anillos, campos, gráficos, posets, etc.

Puede que nos caracterize Cantor-Bernsteiness en términos de otras propiedades categóricas?

[Edit: Corregido el error ortográfico de Bernstein]

Answer 1

Hemos hablado de ello en el Seminario de blogs de secreto.

Answer 2

He aquí otro ejemplo en el que un tipo de Cantor-Schroeder-teorema de Bernstein sostiene. En este papel de R. Bumby, se comprobó que si $A$ $B$ son inyectiva módulos sobre un anillo que puede ser incrustado en cada uno de los otros, a continuación,$A \cong B$.

Un corolario inmediato es que si cualquiera de los dos módulos sobre un anillo de incrustar en el uno al otro, entonces su inyectiva cascos son isomorfos.

Me pregunto si esto encaja en Juan Goodrick la respuesta anterior. Yo no soy consciente de que cualquiera limitada de la colección del cardenal invariantes que clasificar injectives a través de un anillo arbitrario. (Si el anillo es de derecho noetherian, a continuación, cada inyectiva se descompone en suma directa de indecomposable injectives, y esto nos permite clasificar la injectives. Pero Bumby el resultado se da arbitraria de los anillos!)

Answer 3

Cuando los objetos en su categoría se pueden clasificar por una limitada colección del cardenal invariantes, entonces usted debe esperar a tener la Schröder-Bernstein propiedades.

Por ejemplo, los espacios vectoriales (a través de algunas de campo fijo $K$) o algebraicamente cerrado campos (de alguna característica fija) cada uno puede ser clasificado por un solo cardenal invariante: la dimensión del espacio vectorial, o la trascendencia grado del campo.

Más interesante ejemplo: contable abelian de torsión grupos. Supongamos que a y B son dos de estos grupos, $A$ es un sumando directo de $B$, y vice-versa; son isomorfos? Por Ulm, Teorema de, $A$ $B$ están decididos a isomorfismo contables de las secuencias de los números cardinales, es decir, el número de sumandos de $\mathbb{Z}_p^\infty$ y el "Ulm invariantes", que son las dimensiones de algunos espacios vectoriales asociados con$A$$B$. Todos estos invariantes comportarse bien con respecto a la suma directa de descomposición, por lo que se deduce que el $A$ $B$ son isomorfos. (Ver Kaplansky del Infinito Abelian Grupos para un muy agradable, y en la escuela primaria, la prueba de todo esto.)

Si te gusta el modelo de la teoría, yo podría decir mucho acerca de cuando las categorías de los modelos de una teoría completa tiene el Schröder-Bernstein propiedad (en primaria incrustaciones). Si no, al menos yo puedo decir esto:

1. Categorías de estructuras con "definible" parcial órdenes con cadenas infinitas (por ejemplo, real de campos cerrados, atomless álgebras Booleanas) NO tiene el S-B de la propiedad. De nuevo, necesito un modelo de la teoría de hacer esta declaración precisa...

2. Deje $C$ ser de primer orden axiomatizable clase de estructuras (en una contables language) que es "categórico en $2^{\aleph_0}$" -- es decir, cualquiera de las dos estructuras en $C$ de tamaño continuo son isomorfos. A continuación, $C$ tiene el S-B propiedad con respecto a la primaria incrustaciones. (Esto se generaliza en los casos de espacios vectoriales y algebraicamente cerrado campos).

Apéndice: Una forma completamente diferente que una categoría $C$ podría ser Schröder-Bernstein es si cada objeto es "surjunctive" (es decir, cualquier inyectiva auto-morfismos de un objeto es necesariamente surjective). Esto cubre de Justin ejemplo de la categoría de bien ordenamientos.

Answer 4

Este es otro ejemplo donde un tipo de Teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein sostiene: la categoría de espacios métricos compactos, que es en realidad surjunctive según la terminología descrita por John Goodrick. Esta observación está motivada por la pregunta

Isometries entre espacios métricos

Answer 5

Permítanme señalar una curiosa (no categórica) vuelta de tuerca a una observación elemental. La observación elemental es que el Cantor-Schröder-Bernstein propiedad falla por lineal órdenes, incluso si se requiere de las inyecciones para mapa en un segmento inicial. Es decir, puede haber dos personas que no son isomorfos lineales órdenes, cada isomorfo a un segmento inicial de la otra. Un ejemplo es el mismo como un ejemplo familiar para la topológico caso, el intervalo cerrado [0,1] y el semi-abierta intervalo [0,1) de números reales. Y, por supuesto, la situación es la misma para el final de los segmentos. El giro curioso es que, si un orden lineal a es isomorfo a un segmento inicial de otro orden lineal B, mientras que B es isomorfo a un segmento final de A, entonces a y B son isomorfos.