Cómo Comprar Evalúe

Question

Este problema aparece al final de la sección de sustitución Trig de cálculo por Larson. He intentado utilizar la sustitución trigonométrica, pero fue un intento bootless

ps

Answer 1

En primer lugar hacer la sustitución$x=\tan t$ a encontrar$$I=\int_0^1 dx\,\frac{\ln(x+1)}{x^2+1}=\int_0^{\pi/4} dt\,\ln(1+\tan t).$ $ Ahora una substitución$u=\frac{\pi}{4}-t$% que da $$I=\int_0^{\pi/4} du\,\ln\left(\frac{2\cos u}{\cos u+\sin u}\right).$$ Si agrega éstos, se obtiene$$2I=\int_0^{\pi/4} dt\,\ln\left(\frac{\sin t+\cos t}{\cos t}\cdot\frac{2\cos t}{\cos t+\sin t}\right)=\frac{\pi}{4}\ln 2.$ $

Answer 2

Sustituto$x=\tan(\theta)$ la integral se reduce entonces a

$$ \ Int_0 ^ {\ frac {\ pi} {4}} \ ln (1 \ tan (\ theta)) d \ theta = \\ \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {4}} \ ln (\ frac {\ sqrt {2} \ cos (\ pi / 4 \ theta)} {\ cos (\ theta)}) d \ theta = \\ \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {4}} \ ln (\ sqrt {2}) d \ theta \\ = \ frac {\ pi \ ln (2)} {8} $$

Answer 3

Al igual que Marvis, pongamos$x=\tan\theta$

ps

Como $$\int_0^1 \dfrac{\ln(1+x)}{1+x^2} dx = \int_0^{\frac\pi4} \ln(1+\tan\theta) d \theta$

Así,$\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx$ $$$I=\int_0^{\frac\pi4} \ln(1+\tan\theta) d\theta$ $$$=\int_0^{\frac\pi4} \ln(1+\tan(\frac\pi4-\theta)) d\theta$ $$$=\int_0^{\frac\pi4} \ln\left(1+\frac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta}\right)d\theta$ $$$=\int_0^{\frac\pi4} \ln\frac2{(1+\tan\theta)}d\theta$ $$$=\int_0^{\frac\pi4} \{\ln2-\ln(1+\tan\theta)\}d\theta$ $$$=\int_0^{\frac\pi4} \ln2- \int_0^{\frac\pi4}\ln(1+\tan\theta)d\theta$ $

Así,$$=\int_0^{\frac\pi4} \ln2d\theta-I$ $

Answer 4

Otro enfoque:

Establecer$t=\dfrac{1-x}{1+x}\quad\color{red}{\Rightarrow}\quad x=\dfrac{1-t}{1+t}\quad\color{red}{\Rightarrow}\quad dx=-\dfrac{2}{1+t^2}\ dt$, entonces \begin{align} \int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\ dx&=\int_0^1\frac{\ln\left(\frac2{1+t}\right)}{1+t^2}\ dt\\ &=\int_0^1\frac{\ln2}{1+t^2}\ dt-\underbrace{\int_0^1\frac{\ln(1+t)}{1+t^2}\ dt}_{\color{blue}{\text{set}\ t\ =\ x}}\\ 2\int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\ dx&=\ln2\int_0^1\frac{1}{1+t^2}\ dt\\ \int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\ dx&=\large\color{blue}{\frac\pi8\ln2}. \end {align}