ecuaciones funcionales para funciones trigonométricas

Question

Es bien sabido que el siguiente sistema de ecuaciones funcionales: $ \begin{cases} f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y) \\ g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y) \end {casos} $

admitir la solución$(f,g)=(\cos,\sin)$. ¿Hay otras soluciones (además de lo trivial$(0,0)$)? es decir, que estas identidades caracterizan las funciones trigonométricas? Si no, ¿qué identidades adicionales se requieren?

Answer 1

$(f, g) = (\cos a(t), \sin a(t))$ también resuelve este sistema para cualquier solución de $a(t)$ a la de Cauchy funcional de la ecuación de $a(x + y) = a(x) + a(y)$. Además de las soluciones triviales $a(t) = at$, no son patológicos soluciones que pueden ser construidos usando el axioma de elección. La anatomía patológica de las soluciones pueden ser descartado por leve hipótesis, por ejemplo, creo $f, g$ medibles basta ($f, g$ continua es suficiente). Para descartar $a(t) = at$ creo que la cosa más fácil de hacer es imponer una condición en derivados.

Answer 2

Si deja que$h(x)=f(x)+ig(x)$, el sistema reduce a$h(x+y)=h(x)h(y)$. No es demasiado difícil de comprobar que las soluciones continuas a este toman la forma$h(t)=e^{\alpha t}$ para algunos$\alpha \in \Bbb{C}$, por lo que las soluciones continuas en el sistema original son de la forma$f(t)=e^{bt}\cos at$,$g(t)=e^{bt}\cos at$ para algunas constantes reales$a,b$.

Así condición derivada de Qiaochu es suficiente, si usted tiene cuidado (es decir, si se acaba gobernando a cabo$(f,g)=(\cos at, \sin at)$ Se podría pensar que era suficiente para especificar que$g'(0)=1$, pero en realidad también hay que especificar que $f'(0)=0$).