Ejemplos de funciones donde$f(ab)=f(a)+f(b)$

Question

¿Cuáles son algunos ejemplos de continua (en un cierto intervalo) funciones reales o complejas donde$f(ab)=f(a)+f(b)$ (como$\ln x$?)

Answer 1

Definir$g(x)=f(e^x)$. Entonces$$g(x+y)=f(e^{x+y})=f(e^xe^y)=f(e^x)+f(e^y)=g(x)+g(y).$ $

Si$f$ es continua, por lo que es$g$, y es un ejercicio muy conocido para demostrar que$g$ debe entonces ser de la forma$g(x)=cx$ para alguna constante$c$ (véase ecuación funcional de Cauchy ).

Por lo tanto,$\ln(x)$ y constantes múltiplos de la misma son los únicos ejemplos de la clase que usted busca.