¿Buenas pruebas de $\zeta(4) = \pi^4/90$?

Question

Sé que algunas buenas maneras de demostrar que $\zeta(2) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \pi^2/6$. Por ejemplo, ver Robin Chapman lista o las respuestas a la pregunta "Distintos métodos para calcular $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$?"

¿Hay algún buen maneras de demostrar que $$\zeta(4) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}?$$

Ya sé que algunas pruebas de que todos los valores de $\zeta(n)$ positivos números enteros $n$ (#7 en Robin Chapman lista o Qiaochu del Yuan respuesta en la pregunta vinculada). No estoy tan interesado en ese tipo de pruebas como yo soy de aquellos que son específicamente para $\zeta(4)$.

Yo estaría especialmente interesado en una prueba de que no es una adaptación de uno que $\zeta(2) = \pi^2/6$.

Answer 1

En el mismo espíritu de la 1ª prueba de esta respuesta. Si sustituimos $x$ $\pi $ en el de Fourier trigonométrica de la serie de expansión de $% f(x)=x^{4}$, with $-\pi \leq x\leq \pi $,

$$x^{4}=\frac{1}{5}\pi ^{4}+\sum_{n=1}^{\infty }\frac{8n^{2}\pi ^{2}-48}{n^{4}}\cos n\pi \cdot \cos nx,$$

obtenemos

$$\begin{eqnarray*} \pi ^{4} &=&\frac{1}{5}\pi ^{4}+\sum_{n=1}^{\infty }\frac{8n^{2}\pi ^{2}-48}{% n^{4}}\cos ^{2}n\pi \\ &=&\frac{1}{5}\pi ^{4}+8\pi ^{2}\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}% -48\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{4}}\text{.} \end{eqnarray*}$$

Por lo tanto

$$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{4}}=\frac{\pi ^{4}}{48}\left( -1+\frac{1}{5}+ \frac{8}{6}\right) =\frac{\pi ^{4}}{48}\cdot \frac{8}{15}=\frac{1}{90}\pi ^{4}.$$

Answer 2

Considere la función $f(t):=t^2\ \ (-\pi\leq t\leq \pi)$, extendido a todos los ${\mathbb R}$ periódicamente con período $2\pi$. Desarrollo $f$ en una serie de Fourier obtenemos $$t^2 ={\pi^2\over3}+\sum_{k=1}^\infty {4(-1)^k\over k^2}\cos(kt)\qquad(-\pi\leq t\leq \pi).$ $ si ponemos $t:=\pi$ aquí encontramos fácilmente $\zeta(2)={\pi^2\over6}$. %#% Que utilizamos aquí fórmula $\zeta(4)$ $ de Parseval #% $ de $$\|f\|^2=\sum_{k=-\infty}^\infty |c_k|^2\ .$ y $$\|f\|^2={1\over2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^4\>dt={\pi^4\over5}$ son los coeficientes de Fourier complejos de $c_k$. Por lo tanto $f$ y $c_0={\pi^2\over3}$ $|c_{\pm k}|^2={1\over4}a_k^2={4\over k^4}$. Poniéndolo todo junto da $\ (k\geq1)$.

Answer 3

De Cuántas formas de calcular: $\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{(u+n)^2}$ donde $u \not \in \Bbb{Z}$, sabemos que $$ \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{(z+n)^2}=\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)}. $ $ diferenciar esto dos veces, tenemos $$ \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{(z+n)^4}=\frac{\pi^4(2+\cos(2\pi x))}{3\sin^4(\pi z)}. $de % $ % que $$ \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{(z-n)^4}+\frac{1}{(z+n)^4}\right)=\frac{\pi^4(2+\cos(2\pi x))}{3\sin^4(\pi z)}-\frac{1}{z^4}. $$ observe que el lado izquierdo de la anterior es analítica $z=0$ y por lo tanto $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^4}=\lim_{z\to 0}\frac{1}{2}\left(\frac{\pi^4(2+\cos(2\pi x))}{3\sin^4(\pi z)}-\frac{1}{z^4}\right)=\frac{\pi^4}{90}. $ $

Answer 4

Considere la integral de contorno $$ \oint_C\frac{\pi\cuna\pi z}{z^4}\ dz $$ donde $C$ es el contador de las agujas del reloj de la plaza de contorno con centro en el origen con vértices $\left(N+\frac12\right)(\pm1\pm i)$.

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Lema

Supongamos que la función de $\phi(z)$ es holomorphic en$z=n\in\mathbb{Z}$$\phi(n)\neq0$, $\pi\phi(z)\cot\pi z$ tiene una simple poste de $n$ con residuo $\phi(n)$.

Prueba

Tenga en cuenta que $\tan\pi z$ han simple ceros en $z=n$, por lo tanto $\pi\phi(z)\cot\pi z$ han simple polos allí y $$ \text{Res}\left[\pi\phi(z)\cuna\pi z\ ;\ n\right]=\text{Res}\left[\frac{\pi\phi(z)}{\tan\pi z}\ ;\ n\right]=\frac{\pi\phi(n)}{\pi\s^2\pi n}=\phi(n). $$

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Por lo tanto, por el teorema de los residuos para $z\neq0$ obtenemos $$ \sum_{n=-N}^N\text{Res}\left[\frac{\pi\cuna\pi z}{z^4}\ ;\ z=n\right]=\sum_{n=-N,\ n\neq0}^N\frac1{n^4}=2\sum_{n=1}^N\frac1{n^4}.\tag1 $$ A partir de la serie de Taylor de $\cot\pi z$ $z=0$ obtenemos \begin{align} \frac{\pi\cot\pi z}{z^4}&=\frac\pi{z^4}\cos\pi z\csc\pi z\\ &=\frac\pi{z^4}\left(1-\frac{(\pi z)^2}{2!}+\frac{(\pi z)^4}{4!}-\frac{(\pi z)^6}{6!}+\cdots\right)\left(\frac1{\pi z}+\frac{\pi z}{6}+\frac{7(\pi z)^3}{360}+\cdots\right)\\ &=\frac1{z^5}\left(1-\frac{(\pi z)^2}{2!}+\frac{(\pi z)^4}{4!}-\frac{(\pi z)^6}{6!}+\cdots\right)\left(1+\frac{(\pi z)^2}{6}+\frac{7(\pi z)^4}{360}+\cdots\right)\\ \end{align} La expansión de la serie anterior, vemos que $$ \text{Res}\left[\frac{\pi\cuna\pi z}{z^4}\ ;\ z=0\right]=-\frac{\pi^4}{2!\cdot6}+\frac{\pi^4}{4!}+\frac{7\pi^4}{360}=-\frac{\pi^4}{45}.\tag2 $$ Observar que en cualquier punto en el límite, tenemos $$ \left|\frac{\pi\cuna\pi z}{z^4}\right|\le\frac{\pi\coth\frac\pi2}{\left(N+\frac12\right)^4}.\tag3 $$

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Prueba

Poner a $z=x+iy$ y el uso de la trigonométricas de la suma de las fórmulas y las identidades básicas, tenemos $$ |\cuna\pi z|^2=\left|\frac{\cos\pi z}{\sin\pi z}\right|=\frac{\sinh^2\pi y+\cos^2\pi x}{\cosh^2\pi y-\cos^2\pi x}. $$ En los vértices de lados del contorno $C$, $x=\pm\left(N+\frac12\right)$ dar $\cos\left(N+\frac12\right)\pi=0$, por lo tanto $$ |\cuna\pi z|=|\tanh\pi y|\le1. $$ En los lados horizontales tenemos $0\le\cos^2\pi x\le1$, por lo tanto $$ |\cuna\pi z|^2\le\frac{\sinh^2\pi y+1}{\cosh^2\pi y-1}=\frac{\cosh^2\pi y}{\sinh^2\pi}=\coth^2\pi y. $$ Por lo tanto $$ |\cuna\pi z|\le\coth\pi y=\coth\left(N+\frac12\right)\pi\le\coth\frac\pi2 $$ Por lo tanto, en el límite de contorno $C$ hemos $$ |\cuna\pi z|\le\max\left[1,\coth\frac\pi2\right]=\coth\frac\pi2 $$

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De $(3)$ y la propiedad $$ \left|\int_C f(z)\ dz\right|\le ML, $$ donde $M$ $\max|f(z)|$ C y $L$ es la longitud de $C$, obtenemos $$ \oint_C\frac{\pi\cuna\pi z}{z^4}\ dz\le\frac{\pi\coth\frac\pi2}{\left(N+\frac12\right)^4}\cdot8\left(N+\frac12\right)=\frac{8\pi\coth\frac\pi2}{\left(N+\frac12\right)^3}\to0 $$ como $N\to\infty$. Por lo tanto, el uso de $(1)$ $(2)$ también el uso de residuos teorema obtenemos \begin{align} \lim_{N\to\infty}\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{\pi\cot\pi z}{z^4}\ dz&=0\\ \sum_{n=-\infty}^\infty\text{Res}\left[\frac{\pi\cot\pi z}{z^4}\ ;\ z=n\right]+\text{Res}\left[\frac{\pi\cot\pi z}{z^4}\ ;\ z=0\right]&=0\\ 2\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^4}-\frac{\pi^4}{45}&=0\\ \large\color{blue}{\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^4}}&\large\color{blue}{=\frac{\pi^4}{90}}. \end{align}