Una serie de Fourier sólo está definida para funciones definidas en un intervalo de longitud finita, incluidas las señales periódicas, como puede verse en la definición de los coeficientes de Fourier (en la base $\{e^{inx}\}_{n\in\mathbb{Z}}$ ) $$ a_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-inx}~dx. $$
No se puede definir una señal aperiódica en un intervalo de longitud finita (si se intenta, se pierde información sobre la señal), por lo que hay que utilizar la transformada de Fourier para dicha señal.
En principio, se podría tomar una transformada de Fourier de una señal periódica en el sentido de que se podría extender la señal fuera del intervalo $[-\pi,\pi]$ por cero. Pero la transformada de Fourier resultante sería como $$ \widehat{f}(p) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-ipx}~dx $$ y esto no es particularmente diferente de los coeficientes de Fourier. Además, al poder expresar una señal periódica como discreto suma de frecuencias es una afirmación más fuerte que expresarla como una suma continua a través de la fórmula de inversión.
Editar: En respuesta al comentario.
Me refiero a "más fuerte" en sentido amplio, no en el sentido matemático de que una afirmación implique otra.
Tomar la transformada de Fourier de una señal periódica extendiéndola a $0$ en el exterior $[-\pi,\pi]$ no da ninguna información que la transformada de Fourier habitual no daría. Además, la fórmula de inversión sigue siendo válida y, por tanto, vemos que $f$ puede recuperarse a partir de su transformada de Fourier como una suma continua sobre todas las frecuencias.
Lo notable de las funciones periódicas es que en realidad no se necesita toda esta información para recuperar la función; de incontables valores $\widehat{f}(p)$ sólo se necesitan los valores enteros $\widehat{f}(n)$ (es decir, los coeficientes de Fourier) para reconstruir la función.
Así que en este sentido, para una función periódica, hay más que decir que lo que proporciona la transformada de Fourier por sí sola.
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Puedes utilizar la transformada de Fourier con funciones periódicas si lo deseas (siempre que te sientas cómodo con las distribuciones), simplemente obtienes $(\cal F f)(\xi)=\sum_n c(n)\delta(\xi-n)$ , donde $c(n)$ son los coeficientes de la serie de Fourier. Así que no obtendrás nada nuevo: es más sencillo quedarse sólo con las series de Fourier.