Prueba de la desigualdad usando números verdaderos con describir

Question

¿Cómo probar esta desigualdad?

$$ 1+\left(\frac {1}{\sqrt 2}\right)+\left(\frac {1}{\sqrt 3}\right)+ \cdots +\left(\frac {1}{\sqrt n}\right)\gt 2(\sqrt{n+1}-1)$$

Answer 1

$$ \sqrt{k+1}-\sqrt{k} = \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} < \frac{1}{2\sqrt{k}} $ $ por lo tanto, sumando estas desigualdades $k=1,2,\ldots,n$ obtenemos: $$ \sqrt{n+1}-\sqrt{1} < \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ $ como quería.

Answer 2

Puede hacer esto por inducción.

El caso base es fácil.

Por inducción es suficiente para mostrar que $2(\sqrt{n+1}-1)+\frac{1}{\sqrt{n+1}} \ge 2(\sqrt{n+2}-1)$. Reorganización de esto, vemos que esto es equivalente a $\frac{1}{\sqrt{n+1}} \ge 2(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})$. Podemos reescribir el lado derecho de esta usando el fórmula $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$: para lo anterior es equivalente a $\frac{1}{\sqrt{n+1}} \ge \frac{2[(n+2)-(n+1)]}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}$, es decir, $\frac{1}{\sqrt{n+1}} \ge \frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}$. Ahora debería ser fácil ver por qué esta desigualdad sostiene, y así hemos terminado.

Answer 3

En la prueba a continuación, $n \in \Bbb{N}$ es un entero arbitrario.

Lema 1:
$$ \frac{1}{\sqrt{n+1}} > 2\sqrt{n+2} -2\sqrt{n+1} $$ La prueba del Lema 1: $$ 9>8\\ 9+12n+4n^2 > 8+12n+4n^2\\ (3+2n)^2 > 4(n+1)(n+2)\\ 3+2n > 2\sqrt{(n+1)(n+2)}\\ 1 > 2\sqrt{(n+1)(n+2)}-2(n+1)\\ \frac{1}{\sqrt{n+1}} > 2\sqrt{n+2} -2\sqrt{n+1} $$ Corolario 2: $$ \frac{1}{\sqrt{n+1}} > 2(\sqrt{n+2}-1) -2(\sqrt{n+1}-1) $$ Vamos a utilizar este corolario para ayudar a establecer la relación $$ 1+\left(\frac {1}{\sqrt 2}\right)+\left(\frac {1}{\sqrt 3}\right)+ \cdots +\left(\frac {1}{\sqrt n}\right)\gt 2(\sqrt{n+1}-1)$$ por inducción. Base ($n=1$: $$ 2(\sqrt{1+1} - 1) = 2\sqrt{2} -2 ~0.83 $$ Ahora suponga que la relación se mantiene para un cierto valor $n$ -- nos muestran que también se aplica a las $n+1$. Prueba: $$ \left[ 1+\left(\frac {1}{\sqrt 2}\right)+\left(\frac {1}{\sqrt 3}\right)+ \cdots +\left(\frac {1}{\sqrt n}\right)\right] + \left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right) \\ > 2(\sqrt{n+1}-1) + \frac{1}{\sqrt{n+1}} > 2(\sqrt{n+1}-1) + 2(\sqrt{n+2}-1) -2(\sqrt{n+1}-1) = 2(\sqrt{(n+1)+1}-1) $$ así que la relación se mantiene para $n+1$. Esto establece la inducción, por lo que la relación hoolds para todos los $n\in \Bbb{N}$.