Estoy revisando mis álgebra abstracta un poco. En la actualidad, en la Ufd. En este contexto, Gauss del lexema (o parte de ella, al menos), dice que el producto de dos polinomios primitivos a través de una unidad flash usb es primitivo.
A mí me parece que el lema de Gauss, de la siguiente manera bastante sencilla del Teorema que $R[x]$ es un UFD al $R$ es. Sin embargo, esto es un poco lógicamente hacia atrás, ya que creo lema de Gauss, es una especie de un paso preliminar hacia demostrando exactamente ese teorema?
Argumento: Vamos a $R$ ser un UFD. Supongamos que $p(x)q(x)$ no es primitve, donde $p(x),q(x) \in R[x]$. Por lo tanto, debe haber algún nonunit elemento de $R$ dividiendo $p(x)q(x)$. De ello se desprende que hay una irreductible $r$ $R$ que se divide $p(x)q(x)$. Ahora es fácil ver que un elemento irreductible de $R$ es todavía un elemento irreductible de $R[x]$ (grados agregar, así que no puedes factor constante en algo, pero constantes). Desde $R[x]$ es un UFD, su irreducibles también son excelentes, por lo $r$ es un primer elemento de $R[x]$. Luego, a partir de $r|p(x)q(x)$, obtenemos que $r|p(x)$ o $r|q(x)$, por lo que uno de $p(x)$ o $q(x)$ no es primitiva.
Mi pregunta es una especie de philisophical uno:
Pregunta: Es correcto pensar de Gauss del lema como un resultado parcial que luego es reemplazado por el Teorema: "$R$ un UFD implica $R[x]$ un UFD", o soy yo de alguna manera perdiendo algo aquí? En otras palabras, es esto aproximadamente lo que usted piensa de Gauss del Lexema, o no lo ven como un resultado útil en su propio derecho?
