Integral trignométrica : $\int \frac{dx}{\sin x + \sec x}$

Question

La integral que intento calcular es : $$\int \dfrac{dx}{\sin x + \sec x}$$

He probado a manipular funciones trignométricas y no me ha llevado a ninguna parte. Entonces, finalmente, intenté poner $\tan\dfrac{x}{2} = t$ y posteriormente:

$$=\int\dfrac{1-t^2}{(1+t^2)^2-2t(t^2-1)}dt$$

No puedo ver cómo enfocar después de esto, sé que tenemos que factorizar dos cuadráticas, pero no puedo ver cómo hacerlo.

Además, si hubiera otro método en lugar de esta sustitución, ¡por favor, indíquelo también! Gracias.

Answer 1

De otra manera:

$$\dfrac{2\cos x}{2+2\cos x\sin x}=\dfrac{\cos x-\sin x}{2+2\cos x\sin x}+\dfrac{\cos x+\sin x}{2+2\cos x\sin x}$$

Como $\displaystyle\int(\cos x-\sin x)dx=\cos x+\sin x,$ escribir $2\cos x\sin x=(\cos x+\sin x)^2-1$ y establecer $\cos x+\sin x=u$

y como $\displaystyle\int(\cos x+\sin x)dx=\sin x-\cos x,$ escribir $2\cos x\sin x=1-(\sin x-\cos x)^2$ y establecer $\sin x-\cos x=v$

Answer 2

Como comentó Michael Wang $$A=(1+t^2)^2-2t(t^2-1)=t^4-2 t^3+2 t^2+2 t+1$$ Calculando las raíces de la ecuación cuártica (todas son complejas), se termina con $$A=\left(t^2+(\sqrt{3}-1)t-\sqrt{3}+2\right)\left(t^2-(\sqrt{3}+1) t+\sqrt{3}+2\right)$$ La descomposición de la fracción parcial conduce entonces a $$\dfrac{1-t^2}{(1+t^2)^2-2t(t^2-1)}=\frac{1+t}{t^2+(\sqrt{3}-1)t-\sqrt{3}+2}+\frac{1+t}{t^2-(\sqrt{3}+1) t+\sqrt{3}+2}$$ lo que hace que el problema sea viable.

Editar

Ser menos perezoso, escribir $$(t^2+at+b)(t^2+ct+d)-(t^4-2 t^3+2 t^2+2 t+1)=0$$ Expandir y agrupar términos para obtener $$(a+c+2)t^3+ (a c+b+d-2)t^2+ (a d+b c-2)t+(b d-1)=0$$ Por tanto, las ecuaciones a resolver son $$a+c+2=0\tag 1$$ $$a c+b+d-2=0\tag 2$$ $$a d+b c-2=0\tag 3$$ $$bd-1=0\tag 4$$ Utilizando $(4)$ entonces $d=\frac 1b$ . Utilizando $(1)$ entonces $c=-2-a$ . Sustituir en $(2)$ para conseguir $$\frac{a}{b}-(a+2) b-2=0\implies a=\frac{2 b}{1-b}$$ Ahora, conecta todo $(3)$ para conseguir $$\frac{(b^2-4b+1) \left(b^2+1\right)}{(b-1)^2 b}=0\implies b^2-4b+1=0$$

Answer 3

Esto es un complemento a la visión de @Claude Leibovici. De Mathematica: $$ \int \frac{dx} {\sin x + \sec x} = \tan ^{-1}\left(\left(\sqrt{3}+1\right) \tan \left(\frac{x}{2}\right)+1\right)+\tan ^{-1}\left(1-\left(\sqrt{3}-1\right) \tan \left(\frac{x}{2}\right)\right)+\frac{\log \left(2-\frac{2 \left(\sin (x)+\sqrt{3}+1\right)}{\cos (x)+1}\right)-\log \left(\sec ^2\left(\frac{x}{2}\right) \left(-\sin (x)+\cos (x)+\sqrt{3}\right)\right)}{2 \sqrt{3}}. $$