Equivalencia de la norma y el límite de la secuencia de los vectores normalizados

Question

Considerar finito-dimensional espacios vectoriales, en los que dos normas $\|\|_1$ $\|\|_2$ siempre son equivalentes. A continuación, una secuencia de vectores ${\bf v}_k \to {\bf v}$ w.r.t. norma 1 iff ${\bf v}_k \to {\bf v}$ w.r.t. norma 2.

La pregunta es acerca de la secuencia de $\frac{{{{\mathbf{v}}_k}}}{{{{\left\| {{{\mathbf{v}}_k}} \right\|}_1}}} \to \frac{{\mathbf{v}}}{{{{\left\| {\mathbf{v}} \right\|}_1}}}$ w.r.t. norma 1, este límite implica $\frac{{{{\mathbf{v}}_k}}}{{{{\left\| {{{\mathbf{v}}_k}} \right\|}_2}}} \to \frac{{\mathbf{v}}}{{{{\left\| {\mathbf{v}} \right\|}_2}}}$ w.r.t. norma 2 (o tal vez una disminución en la afirmación de que una convergencia implica la otra, pero el límite puede ser diferente)? Tengo problemas para mostrar que esto es cierto. Si esto es falso, nadie puede ayudar a proporcionar un contraejemplo? Gracias!

Por ejemplo, $(k,\sqrt k),k=1,2,...$ satisface $\frac{{(k,\sqrt k )}}{{{{\left\| {(k,\sqrt k )} \right\|}_p}}} = \frac{{(k,\sqrt k )}}{{{{({k^p} + {k^{\frac{p}{2}}})}^{\frac{1}{p}}}}} \to (1,0)$ cualquier $p$-norma.

Answer 1

Supuestamente $v\ne0$. Que $u_k=v_k/\|v_k\|_1$ y $u=v/\|v\|_1\ne0$. Por supuesto, $u_k\to u$ (respecto a ambas normas, porque todas las normas son equivalentes) y por lo tanto $\|u_k\|_2\to \|u\|_2$ (porque la función de la norma es continua). Por lo tanto $$ \left\|\frac{u_k}{\|u_k\|_2}-\frac{u}{\|u\|_2}\right\|_2 \le \frac{1}{\|u_k\|_2}\|u_k-u\|_2 + \left|\frac{1}{\|u_k\|_2}-\frac{1}{\|u\|_2}\right|\|u\|_2 \to0. $$ % Por lo tanto, $v_k/\|v_k\|_2=u_k/\|u_k\|_2\to u/\|u\|_2=v/\|v\|_2$.

Answer 2

La declaración es verdad.

Que $\mathbf{v}_k$ sea una secuencia de vectores en un espacio dimensional finito del vector $V$. Supongamos que la secuencia converge con respecto a la norma $\|\cdot \|_1$ $\mathbf{v}$, es decir, $$\frac{\mathbf{v}_k}{\|\mathbf{v}_k\|_1}\rightarrow \mathbf{v}.$ $

Puesto que las normas son continuas, se deduce que también tenemos $$\frac{\|\mathbf{v}_k\|_2}{\|\mathbf{v}_k\|_1}\rightarrow \|\mathbf{v}\|_2.$ $ en particular, la relación entre las dos normas es una secuencia convergente. De esto sigue % $ $$\lim_{k\rightarrow \infty}\frac{\mathbf{v}_k}{\|\mathbf{v}_k\|_2} = \lim_{k\rightarrow \infty}\frac{\mathbf{v}_k}{\|\mathbf{v}_k\|_1}\frac{\|\mathbf{v}_k\|_1}{\|\mathbf{v}_k\|_2} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|_2}.$

Answer 3

Definir una función $f:V \to V$ $v \mapsto \frac{\|v\|_1}{\|v\|_2}v$ de envío. Se trata de una función continua en $V \backslash \{0\}$, siendo el cociente de dos funciones continuas multiplicada por el mapa de la identidad (estamos utilizando el hecho de que ambas normas son continuas en la única topología que definen). Observe geométrico que $f$ envía la esfera unidad de $\|\cdot \|_1$ a la esfera de la unidad de $\|\cdot \|_2$.

Por continuidad, si $\frac{v_k}{\|v_k\|_1} \to \frac{v}{\|v\|_1}$, entonces el $\frac{v_k}{\|v_k\|_2}=f\big(\frac{v_k}{\|v_k\|_1}\big) \to f\big(\frac{v}{\|v\|_1}\big) = \frac{v}{\|v\|_2}$.