Gavilla cohomology es el derecho derivado functor de la sección global functor, considerado como un functor exacto de abelian poleas en un espacio topológico (más generalmente, en un sitio) a la categoría de abelian grupos. De hecho, uno puede tener respecto a este functor como $\mathcal{F} \mapsto \hom_{\mathrm{sheaves}}(\ast, \mathcal{F})$ donde $\ast$ es la constante gavilla con un elemento (el terminal de objeto en la categoría de todos-no necesariamente abelian -- poleas, así gavilla cohomology pueden ser recuperados desde la categoría de poleas, o el "topos:" es bastante natural functor.
de Rham cohomology pueden ser arbitrarias de variedades algebraicas: hay algo que se llama algebraica de Rham cohomology (que es el hyper-gavilla cohomology de la analógica de la costumbre de Rham complejo con algebraica de coeficientes) y es un teorema de Grothendieck que esto le da a la costumbre singular cohomology sobre los números complejos. Por cierto, gavilla cohomology proporciona una muy simple prueba de que de Rham cohomology está de acuerdo con el ordinario cohomology (al menos cuando usted está de acuerdo que el común de los cohomology es cohomology de la constante de la gavilla, aquí $\mathbb{R}$) debido a que el de Rham resolución es de un suave resolución de la constante gavilla $\mathbb{R}$, y por lo tanto, puede utilizarla para calcular cohomology.
Gavilla cohomology es bastante natural si usted desea considerar preguntas como las siguientes: digamos que usted tiene un surjection de vector de paquetes de $M_1 \to M_2$: a continuación, cuando se hace una sección global de $M_2$ levantar a uno de $M_1$? La obstrucción es en $H^1$ de los kernel. Así, por ejemplo, esto significa que en un afín, no hay ninguna obstrucción. En un proyectiva esquema, no hay ninguna obstrucción después de realizar un gran Serre giro (porque es un teorema que torcer mucho se deshace de cohomology). Gavilla cohomology surge cuando se quiere demostrar que algo que puede ser hecho localmente (es decir, el levantamiento de una sección en un surjection de poleas) se puede hacer a nivel mundial.
$H^1$ también es particularmente útil porque clasifica torsors más de un grupo: por ejemplo, $H^1$ de una Mentira grupo en un colector $G$ clasifica principal $G$-paquetes, $H^1$ $GL_n$ clasifica principal $GL_n$-paquetes (que son la misma cosa, como $n$-dimensiones del vector de paquetes), etc.
También, gavilla cohomology sí se muestra en la topología algebraica. De hecho, el singular cohomology de un espacio con coeficientes en un grupo fijo es sólo gavilla cohomology con coeficientes en la constante apropiada gavilla (para agradables espacios, de todos modos, dicen localmente contráctiles; esto incluye el CW complejos algebraicas topologists tienden a preocuparse acerca de). Por ejemplo, la dualidad de Poincaré en topología algebraica puede ser expresada en términos de las poleas. Recordar que esto le da un isomorfismo
$H^p(X; k) \simeq H^{n-p}(X; k)$ para un campo $k$ y una orientada a $n$-dimensiones del colector $X$, dicen compacto. Esto no se ve muy gavilla-ish, pero, en realidad, ya que estos cohomologies son realmente $\mathrm{Ext}$ grupos de poleas (gavilla cohomology es un caso especial de $\mathrm{Ext}$), con lo que conseguimos un perfecto maridaje
$$ \mathrm{Ext}^p(k, k) \times \mathrm{Ext}^{n-p}(k, k)\to \mathrm{Ext}^n(k,k)$$
donde el $\mathrm{Ext}$ grupos están en la categoría de $k$-las poleas. Esto se puede generalizar a espacios singulares, pero para hacerlo se requiere gavilla cohomology (y derivados categorías): la razón, creo, que para los colectores esas ideas no entrar es que el "dualizing complejo" que se plantea en esta teoría es muy simple para un colector. Usted puede encontrar útil de estas notas en Verdier la dualidad, lo que explica la conexión (y que en su mayoría siguen el libro de Iversen).
