Estoy tratando de encontrar el intervalo donde $e^x$ crece más rápido que $x^x$. Por lo tanto, que deba resolver la desigualdad: $$\frac{d}{dx}e^x > \frac{d}{dx}x^x$ $ tomando derivados, llegué a esta desigualdad: $$e^x > x^x(\operatorname{ln}(x) + 1)$ $ y no sé cómo empezar aquí. He intentado ir de esta forma: $$x^x = e^{x \operatorname{ln}(x)}$ $ $$e^x > e^{x \operatorname{ln}(x)} (\operatorname{ln}(x) + 1)$ $ $$e^{x-x\operatorname{ln}(x)} > \operatorname{ln}(x)+1$ $ $${(e^{1-\operatorname{ln}(x)})}^x> \operatorname{ln}(x) + 1$ $ $$\bigg(\frac{e}{x}\bigg)^x > \operatorname{ln}(x) + 1$ $ y ahora no sé dónde ir. ¿Ha iniciado correctamente? Si lo hice, ¿dónde debo ir ahora? Si no lo hacía, ¿cuál es la mejor manera de acercarse a esta desigualdad? Gracias.
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$x\in (0,1/e]$ Tenemos $1+\ln x\leq 0$ y $x^x>0$ % que $e^x>0\geq x^x(1+\ln x).$
$x\in (1/e,1]$ Tenemos $0<1+\ln x\leq 1$ y $x^x\leq 1$ y $e^x>1$ % que $e^x>1\geq x^x(1+\ln x).$
Por $x\geq 1$ $g(x)= \frac {e^x}{x^x(1+\ln x)}.$ tenemos $$(\ln g(x))'=-\ln x-\frac {1}{x(1+\ln x)}<0$$ so $\ln g (x) $ is strictly decreasing on $ [1,\infty) $. Therefore $g # (x) $ is strictly decreasing on $[1, \infty), $ with $g # (1) = e > 1$ and $g(e) = 1/2 < 1.$ So there is a unique $x_0\in (1,e)$ with $g(x_0)=1$. Since $g$ is strictly decreasing on $[1,\infty) $ we have $$x\in [1,x_0)\implies g(x)>g(x_0)=1,$$ $% $$\text {and }\quad x\geq x_0\implies g(x)\leq g(x_0)=1.$
En Resumen, $e^x>x^x(1+\ln x)\iff x\in (0,x_0).$
Nota: $g(x_0)=1\iff \ln g(x_0)=0\iff x_0-x_0\ln x_0-\ln (1+\ln x_0)=0.$ un rápido cálculo muestra que el $x_0>2. $
