Cómo probar la igualdad de cardinalidad ($\mathfrak c^\mathfrak c=2^\mathfrak c$)

Question

Cómo pruebo esta cardinalidad igualdad: $\mathfrak c^\mathfrak c=2^\mathfrak c$

He podido demostrarlo después de mucho camino - pero estoy seguro de que es cierto

¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

$c^c = (2^{\aleph_0})^c = 2^{\aleph_0 \cdot c}=2^c$

Medio de la igualdad de la siguiente manera:

Hay un bijection $f \colon (A^B)^C \to A^{B\times C}$.

Definir $f \colon (A^B)^C \to A^{B\times C}$ por la fórmula $f(g)(x,y) = g(x)(y)$. Aquí $g \in (A^B)^C$, $x \in B$, $y \in C$|. Definir $f' \colon A^{B\times C} \to (A^B)^C$$f'(h)(x)(y) = h(x,y)$. Es fácil comprobar que $f'$ $f$ son inversos el uno del otro, por lo que son bijections:

$f'(f(g))(x)(y) = f(g)(x,y) = g(x)(y)$ por lo $f'(f(g)) = g$

y

$f(f'(h))(x,y) = f'(h)(x)(y) = h(x,y)$ por lo $f'(f(h)) = h$.

Esto se conoce como "alarmada" en la programación funcional. Esto significa que en lugar de una función de tomar un par de $(x,y)$ y dando resultado $z$, usted puede hacer una función que toma $x$ y devuelve una función que toma $y$ y da resultado $z$.

Answer 2

(Suponiendo que el axioma de elección) Para cada infinita cardenal $\kappa$ tiene: $\kappa^\kappa=2^\kappa$.

Prueba: Por Cantor del teorema $\kappa<2^\kappa$. Por lo tanto,$\kappa^\kappa\le (2^\kappa)^\kappa=2^{\kappa\cdot\kappa}=2^\kappa$. Por otro lado, $2<\kappa$, así que de nuevo $2^\kappa\le\kappa^\kappa$.

Combinar estas y que ha $2^\kappa\le\kappa^\kappa\le 2^\kappa$, por lo tanto la igualdad.

Por supuesto, habría que saber dos cosas: primero:

1. Si $\kappa\le\lambda$$\kappa^\mu\le\lambda^\mu$;
2. Para cada infinita cardenal $\kappa\cdot\kappa=\kappa$;
3. Si $\kappa\le\lambda$$\lambda\le\kappa$$\lambda=\kappa$.

El primero es bastante simple, ya que podemos suponer sin pérdida de generalidad que $\kappa\subseteq\lambda$ y por lo tanto la identidad de la función es de $\kappa^\mu$ a $\lambda^\mu$. El segundo punto también es conocido como el Cantor-Bernstein teorema.

Aquí es una prueba para el primer hecho:

Supongamos $\kappa\le\lambda$, vamos a $A$ ser un conjunto de tamaño $\lambda$, tenemos que hay algunos $B\subseteq A$ tal que $|B|=\kappa$ (esto por el hecho de que a partir de cualquier conjunto de $B'$ de cardinalidad $\kappa$ no es una función inyectiva en a $A$, podemos tomar la imagen de esta función como $B$).

El conjunto $A^\mu$ es exactamente todas las funciones de $\mu$ a $A$. Desde $f\in B^\mu$ significa que $f\colon\mu\to B$, y por lo tanto $f\colon\mu\to A$$f\in A^\mu$.

De esto tenemos que $|B|^\mu\le|A|^\mu$ $\kappa^\mu\le\lambda^\mu$ según sea necesario.

Answer 3

Si usted sabe que ${\mathfrak c}=2^{\aleph_0}$ y $\aleph_0.{\mathfrak c}={\mathfrak c}$ luego de llegar $${\mathfrak c}^{\mathfrak c}=(2^{\aleph_0})^{\mathfrak c}=2^{\aleph_0.{\mathfrak c}}=2^{\mathfrak c}.$$

---

Así que ahora tenemos que mostrarle $\aleph_0.{\mathfrak c}={\mathfrak c}$.

Claramente, ${\mathfrak c}\le \aleph_0.{\mathfrak c}$.

En el otro lado; $\aleph_0.{\mathfrak c} \le {\mathfrak c}.{\mathfrak c} = 2^{\aleph_0}.2^{\aleph_0}=2^{\aleph_0+\aleph_0}=2^{\aleph_0}={\mathfrak c}$.

Desde entonces, hemos ambas desigualdades, el resultado se sigue de Cantor-Bernstein teorema.

En ambas pruebas, hemos utilizado varias conocidas propiedades de cardenal exponenciación.