¿Cuál es el valor de esto?

Question

También, lo que en general, para un cierto valor p, que tiene el valor 2 en la fórmula?

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MOTIVACIÓN:

Me preguntaba la probabilidad de que nunca llegue a tails si siempre tiro una moneda cuya probabilidad de aterrizaje tails disminución (en este caso, geométricamente) cada flip.

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La probabilidad de tails sobre flip i es $\frac{1}{2^i}$, y la probabilidad de heads sobre flip i es $1-\frac{1}{2^i}$. Así, en primer lugar voltear la moneda es 50-50, a continuación se 75-25, etc. Y la probabilidad de que nunca aterrizaje tails es igual a la probabilidad de que siempre aterrizaje heads, que es la infinita producto de la heads probabilidades, produciendo $\prod_{i=1}^\infty 1-\frac{1}{2^i}$. => ($\frac{1}{2} * \frac{3}{4} * \frac{7}{8} ...$)

Answer 1

$$\sum_{k\geq 1}\log\left(1-\frac{1}{2^k}\right) = -\sum_{k\geq 1}\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n 2^{kn}}=-\sum_{m\geq 1}\frac{1}{2^m}\sum_{d\mid m}\frac{1}{d}=-\sum_{m\geq 1}\frac{\sigma_1(m)}{m 2^m}$ $ por lo tanto: %#% $ #% pero el límite: $$\prod_{i\geq 1}\left(1-\frac{1}{2^i}\right)=\exp\left(-\sum_{m\geq 1}\frac{\sigma_1(m)}{m 2^m}\right)\geq\exp\left(-\sum_{m\geq 1}\frac{m+1}{2^{m+1}}\right)=e^{-3/2}$ $ es obviamente muy crudo.

Answer 2

Canuse $q$-Pochhammer símbolo para representar el producto infinito como

$$ \prod_{i=1}^{\infty}\left( 1-\frac{1}{2^i} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)_{\infty} . $$

Nota:

$$ \left( a, q \right)_{\infty}= \prod_{i=1}^{\infty}\left( 1-a q^k \right) $$