¿Por qué mi prueba es "absurdo"?

Question

Estoy trabajando en una pregunta de Fraleigh "Un Primer Curso De Álgebra Abstracta":

Una torsión de grupo es un grupo cuyos elementos finitos de orden. Un grupo de torsión libre si el elemento de identidad es el único elemento de finito de orden. A un estudiante se le pide demostrar que si $G$ es un torision el grupo, entonces también lo es $G/H$ por cada subgrupo normal $H$$G$. El estudiante escribe:

Debemos mostrar que cada elemento de a $G/H$ es de orden finito. Deje $x \in G/H$

1. ¿Por qué el instructor de la lectura de esta prueba es de esperar encontrar una tontería de aquí en adelante los estudiantes de la prueba?
2. ¿Qué debe hacer el estudiante tiene escrito?
3. Completa la prueba.

Así que empecé a pensar y el pensamiento justo en el punto 3:

Debemos mostrar que cada elemento de a $G/H$ es de orden finito.

Deje $x \in G/H$.

Observar que $x \in G$$G/H \leq G$, pero desde $G$ es una torsión de grupo, y $x$ está en $G$, $x$ debe de tener finito de orden. Q. E. D.

Este parece bien a mí, pero creo que estoy haciendo algo tonto, ya que, la pregunta que me lleva a pensar así.

Answer 1

Como dice en otras respuestas, $G/H$ no es un subgrupo (o incluso un subconjunto) de $G$. Dicho esto, me opongo a la asunción de "disparate". Si yo estuviera escribiendo esta prueba, tendría este aspecto:

Que $x\in G/H$. Entonces $x=gH$ $g\in G$. Ya que $G$ es un grupo de torsión, $\lvert g\rvert=n$ $n<\infty$; en particular, $g^n=e$.

\begin{align*}x^n&=(gH)^n\\ &=g^nH\\&=eH\\&=H\end{Alinear *}

Así $\lvert x\rvert \leq n<\infty$. Así cada elemento de $G/H$ tiene orden finito, es decir, $G/H$ es un grupo de torsión.

Answer 2

La prueba debe comenzar: "Vamos a $x \in G$..."

Por qué? Debido a $G$ es el grupo que tiene propiedades CONOCIDAS, y que (aún) no hay NADA acerca de $G/H$ (aunque deberíamos estar probando algo al respecto, en breve).

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EDIT: no Hay ninguna razón para suponer que $G/H$ incluso es isomorfo a un subgrupo de $G$. Por ejemplo, vamos a:

$G = \{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}$ donde $ij = k, jk = i, ki = j$. Deje $H = \{1,-1\}$.

A continuación,$G/H = \{H,iH,jH,kH\} \cong V$, pero $G$ sólo ha $1$ elemento de orden $2$, por lo que no puede ser isomorfo a $V$, lo que ha $3$ elementos de orden $2$.

Answer 3

El problema que tenía era una reflexión sobre el conjunto de $G/H$. Como dijo David Wheeler, el $G/H$ no es necesariamente isomorfo a $G$.

Aunque yo no supongo que era isomoprhic mientras que el razonamiento acerca de esto, yo no creo que de $G/H$$\{H, iH, jH, kH\}$, yo en cambio pensaba en ella como un particular ejemplo de esto. Por lo $G/H = gH$ algunos $g \in G$ fue la forma en que me "en la foto".

En lugar de eso debe de pesar de $G/H$ como un conjunto de conjuntos. Y se hizo la prueba así:

Deje $x \in G$ con el fin de $n$, Entonces queremos mostrar que $xH$ tiene orden finito. Observe el elemento de identidad es $H$. Tenemos: $(xH)^2 = (xH)(xH) = x^2H$. Es fácil ver que:

$$(xH)^n = x^nH = eH = H$$

Como se desee.