Integrabilidad de dos variables aleatorias independientes

Question

Supongamos que $X$ y $Y$ son dos variables aleatorias independientes.

¿Cómo uno show eso si $X+Y\in L^1$, entonces ambos % son $X$y $Y$ $L^1$?

Sé que uno puede acercarse a este problema usando el hecho de que la ley común de $X+Y$ es la convolución de las leyes de la $X$ y $Y$, pero me gustaría saber más "elemental" maneras de probar la afirmación. Es decir, cómo uno establecer

¿$$E[|X|: |X|>M] \to 0 $$ as $M # \to \infty$?

Answer 1

Utilice la siguiente ley $$\mathbb{E}(|Z|) \leq \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{P}(|Z| > n) \leq \mathbb{E}(|Z|) + 1$ $ que se conoce como capas representación de expectativa. De Asunción es $X+Y$ $L^1$, tenemos $$\sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{P}(|X+Y| > n) \leq \mathbb{E}(|X+Y|) + 1 < \infty$ $ luego nota que\begin{align*} \mathbb{P}(|X+Y| > n) &\geq \mathbb{P}(|X| - |Y| > n)\\ &\geq \mathbb{P}(|X| > n + m \text{ and } |Y| < m)\\ &\geq \mathbb{P}(|X| > n + m) \cdot \mathbb{P}(|Y| < m) &\text{by independence} \end{align*} para cualquier $m$. Elegir $m$ suficientemente grande para que $\mathbb{P}(|Y| < m) > 0$ (esto $m$ debe existe para $\lim_{m \rightarrow \infty} \mathbb{P}(|Y| < m) = 1$) para que podamos atado la cola suma $$\sum_{k \geq m} \mathbb{P}(|X| > k) = \sum_{n \geq 0} \mathbb{P}(|X| > n + m) \leq \frac{\sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{P}(|X+Y| > n)}{\mathbb{P}(|Y| < m)} < \infty$ $ esto demuestra que $$\sum_{k \geq 0} \mathbb{P}(|X| > k) < \infty$ $ y por la desigualdad de representación capas, $$\mathbb{E}(|X|) \leq \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{P}(|X| > n) < \infty$ $ por lo tanto es $X$ $L^1$. Asimismo para $Y$.

Answer 2

Suponga que la parte positiva $X_+$ $X$ no es integrable. Tan $$ \sum 2 ^ n P (2 ^ n\le icadas + < 2 ^ {n + 1}) = \infty \quad\quad\quad\quad (1) $ Tomemos $M>0$ tan grandes que $P(|Y|\le M)\ge 1/2$. Me permito escribir $A_n$ para los eventos de (1). $X,Y$ Son independientes, la probabilidad que pasa $A_n$ y a la vez $|Y|\le M$ $\ge (1/2)P(A_n)$. Esto implica que el $E(X+Y)_+=\infty$, al centrarse en la contribución de esos conjuntos. Esto contradice nuestra hipótesis de que $X+Y\in L^1$.