Pruebas sorprendentemente elementales y directas

Question

¿Cuáles son algunos ejemplos de teoremas, cuya primera prueba era bastante difícil y sofisticado, tal vez con algún otro profundos teoremas de la teoría, antes de que años más tarde, sorprendentemente, bastante elemental, directo, tal vez incluso a corto prueba de que se ha encontrado?

Una pregunta relacionada es MO/24913, que se ocupa de duro teoremas cuyas pruebas se han simplificado por el desarrollo de métodos más sofisticados de teorías. Pero me gustaría ver ejemplos en los que esto no era necesario, sino más bien la teoría resultó ser superfluo, como para la prueba del teorema. Espero que esto no sucede tan a menudo. [Ok, después de leer todas las respuestas, obviamente, pasó todo el tiempo!]

Answer 1

Goedel original de integridad/compacidad las pruebas de la lógica son muy duros y técnicos. Las versiones modernas de las pruebas son considerablemente más simple y no utilice ningún sofisticado nueva teoría.

La mayoría de las pruebas del teorema fundamental del álgebra utilizar algunos topológico/homotopical de profundidad(ish) resultados o algunos de profundidad(ish) resultados de análisis complejo. De hecho, el teorema se puede probar usando sólo la definición de los números complejos y el valor absoluto, el uso de muy elemental de las propiedades de los números complejos, y la totalidad de la prueba es de aproximadamente la mitad de una página de largo (una prueba es en realidad un mínimo módulo de argumento, pero aplicado a un polinomio de modo que el cálculo se puede hacer directamente sin necesidad de apelar a la mínima general el módulo de principio). La prueba es muy elemental.

La prueba de que Euclide del quinto postulado es independiente de los otros axiomas de la geometría Euclidiana mediante la exhibición de los modelos (es decir, la esfera y el plano hiperbólico) donde el postulado de la falla (en diferentes formas) es completamente primaria. Sin duda todos aquellos que han intentado demostrar/refutar el quinto postulado lo hizo mientras caminaba por un contraejemplo. Sin embargo, los numerosos ataques sobre el problema antes de su asentamiento en el siglo 20 eran muy complejas y laboriosas. Era la barrera conceptual y la comprensión de la importancia de los modelos - no técnica.

Brouwer del topológico prueba de su punto fijo teorema de usa (creo) homología y/o el grupo fundamental. Un perfectamente primaria prueba de uso de Sperner del Lema más tarde fue descubierto (no estoy del todo seguro acerca de la orden cronológico aquí, así que puedo estar equivocado).

Inicial las pruebas de que la mayor homotopy grupos abelian se simplifica en gran medida por la Eckman-Hilton argumento (que es completamente primaria).

El Mac Lane coherencia teorema de la categoría de la teoría es más bien técnico y es enormemente simplificado teniendo en cuenta la Yoneda la incrustación en las 2 categorías de configuración. Toda la maquinaria ya estaba presente, pero se requiere cierta re-ensamblaje de averiguar bastante elemental de la prueba.

Answer 2

Gauss inicial de la prueba de la reciprocidad cuadrática en "Disquisitiones fue excepcionalmente larga que abarca creo que más de 30 páginas, y en mi opinión es increíblemente desagradable. Gauss utiliza la inducción y luego se reduce a algo así como ocho de los casos. Mientras que no necesariamente depender de los grandes teoremas de esta prueba parece demasiado complicado, especialmente cuando se compara con algunas de las pruebas que siguieron.

Por ejemplo, Eisenstein, la prueba es muy corto y tiene un muy buen geométricas componente que creo que es muy agradable, y es que no requieren una gran cantidad más de la maquinaria de Gauss del original.

De hecho, hay otros bonito pruebas de reciprocidad cuadrática. Aquí tienes una buena lista de algunos de ellos

Answer 3

Chebyshev había demostrado la Bertrand postulado que establece que para cualquier entero $n > 3$, siempre existe al menos un número primo $p$$n < p < 2n − 2$. Una más débil, pero más elegante formulación es: por cada $n > 1$ siempre hay al menos uno de los prime $p$ tal que $n < p < 2n$.

Más tarde Paul Erdős había dado un elemental pero a la vez elegante prueba de esto. Sorprendentemente él tenía tan solo 20 años de edad, cuando se había dado esta prueba.

Answer 4

Tal vez el más emocionante y dramático de la difícil desigualdades es Arhangel'skii del teorema que $|X|\le \exp(L(X)\chi(X))$ por cada espacio de Hausdorff. El contable de la versión de este resultado, es decir, que cada Lindelöf, primero contables, espacio de Hausdorff tiene cardinalidad en la mayoría de las $\mathfrak c$, responda a las siguientes cincuenta años, la vieja pregunta de Alexandroff y Urysohn. No existe un compacto, primero contables espacio de cardinalidad mayor que el continuum?

Como uno puede suponer, Arhangel'skii original de la prueba fue bastante difícil. El argumento en el Conjunto teórico de la Topología de la Página 19 es debido a Pol. No es difícil para uno que se entienda. El contable de la versión de esta prueba debe estar dentro del alcance de los de primer año, estudiante de posgrado en matemáticas. El teorema es sufficently importante para ser incluido en cualquier introductoria del curso de postgrado en el conjunto de la teoría de la topología, y proporciona a la exposición a la moderna topología en una de las primeras nivel de formación en matemáticas.

Answer 5

Demasiado largo para un comentario.

Creo que Bill Johnson respuesta (Lomonosov 1973) MO se aplica a su pregunta así. Algunos superfluo teoría que se utilizó para la primera prueba de un resultado más débil (Bernstein-Robinson 1966) fue el análisis no estándar. Fue Halmos que eliminó de inmediato el análisis no estándar de la argumentación.

Estas cosas fueron, sin duda, no es fácil de averiguar debido a von Neumann a sí mismo sólo demostró la existencia de invariantes no triviales subespacios para el compacto de los operadores en el espacio de Hilbert ($\dim \geq 2$). Lomonosov implica hyperinvariant en general de los espacios de Banach.

Ver esta página de la wikipedia sobre el subespacio invariante problema para las declaraciones y una cronología de resultados relacionados. Tal vez es una buena oportunidad para recordar que todavía no se sabe si cada operador acotado en un infinito-dimensional espacio de Hilbert separable, admite un trivial subespacio invariante.