El interior de un conjunto convexo es convexo

Question

Un conjunto $S$ en $\mathbb{R}^n$ es convexo si para cada par de puntos $x,y$ en $S$ y todo verdadero $\theta$ donde $0 < \theta < 1$ tenemos $\theta x + (1- \theta) y \in S$ .

Intento demostrar que el interior de un conjunto convexo es convexo.

Si $x, y \in$ int $S$ entonces sé que existen bolas abiertas tales que $B(x) \subseteq S$ y $B(y) \subseteq S$ . Necesito demostrar que existe una bola $B(\theta x + (1- \theta) y) \subseteq S$ .

Aparte de anotar las definiciones, no sé cómo proceder. ¿Podría alguien darme una pista?

Answer 1

Sea $U= S^\circ$ . Fijar $0<t<1$ . Tenemos $tS + (1-t)S \subseteq S$ por convexidad, por lo que $tU + (1-t)U \subseteq S$ . Pero $tU$ está abierto, por lo que $tU+(1-t)U$ es abierto (ejercicio, suma de un conjunto abierto y cualquier conjunto es abierto), y por tanto $tU + (1-t)U \subseteq S^\circ = U$ y, por tanto $U$ es convexa.