Unicidad de la derivada en a espacio topológico localmente convexo del vector

Question

Necesito una sugerencia de la prueba de la unicidad de la derivada en localmente convexo espacio vectorial topológico (es afirmado en Lang "Introducción a diferenciable colectores").

Define la derivada de una función $f: E \to F$ entre dos espacios vectoriales topológicos en el punto de $x_0$ como un operador lineal $f'(x_0) \in L(E, F)$ tal que ${}^2\!\!f(y) := f(x_0 + y) - f(x_0) - f'(x_0) y$ es tangente a cero (función $\varphi$ es tangente a cero si por cualquier barrio de cero $W \subset F$ existe un entorno de cero $V \subset E$ tal que $\varphi(tV) = o(t)W$).

Ahora supongamos que dos los operadores de $A_1$ $A_2$ satisface la condición de la derviative. Tengo que demostrar entonces que $A_1 = A_2$. Es fácil ver que debe haber una vecindad de cero $V \subset E$ tal que $(A_1 - A_2)V = 0$, por lo que tenemos $\operatorname{span}V \subset \ker (A_1 - A_2) \subset E$, por lo que es suficiente para demostrar que $\operatorname{span}V = E$. En el caso de espacio de Banach es muy fácil (no-vacío conjunto abierto debe contener una pelota), pero en un caso más general parece que este intento falla (considere la posibilidad de un espacio discreto), y no veo que otra estrategia.

Es el derivado en el hecho único o es alguna condición más fuerte que lo que se indica que se requiere para que sea único?

Answer 1

Tenga en cuenta que cada barrio de cero es absorbente, equilibrado y convexo, por definición, de convexidad local, por lo que su argumento es ya todo.

Si usted piensa acerca de los locales de la convexidad en condiciones de semi-normas, es claro que los barrios de cero son de absorción. En la otra dirección, queremos que la de Minkowski-funcionales de un sistema básico de los barrios a ser semi-normas de la generación de la topología (con el fin de tener Hahn-Banach en la mano). En orden para el funcional de Minkowski de un conjunto convexo para ser finito en todas partes, tenemos los vecindarios de absorción (las otras dos condiciones, ya asegúrese de que son de hecho seminorms).

Me sugirió el uso de Hahn-Banach. Deje $A = A_1 - A_2 \neq 0$. Tome $z = Ay = (A_1 - A_2)y \neq 0$ (suponiendo que $A_1 \neq A_2$). Entonces por Hahn-Banach nos encontramos con un funcional lineal continua $\phi: F \to \mathbb{K}$ tal que $\phi(z) = 1$. Me permitirá terminar esta alternativa de la prueba, el uso de ese $\phi \circ A$ es continua (me sugirió esta prueba antes de leer tu pregunta totalmente, no hay mucha diferencia).

Nota de curso que por tanto estos argumentos, necesitamos que las autoridades locales de la convexidad incluye Hausdorff.

---

Finalmente, dado que el tema de la discreta espacio vectorial. Como estoy convencido de que en los comentarios, este no es un espacio vectorial topológico, como la multiplicación escalar es no continua. Sin embargo, existe un único mejores localmente convexo de la topología de la fabricación de un espacio vectorial en un espacio vectorial topológico: simplemente tomar la topología generada por todos los seminorms.