Isotrivial pero no trivial familia de curvas elípticas

Question

Considerar a la familia $f\colon \mathfrak X \to \mathbb C^*$ de curvas elípticas sobre $\mathbb C^*$ con coordinar $t$ dado por la ecuación afín $y^2 = x^3 - t$. A continuación, todas las fibras tienen $j$-invariante $j = 0$, por lo tanto todos ellos son isomorfos. De hecho, es fácil ver que la familia trivializa después de lo finito étale de cambio de base de a $s \mapsto s^6$.

Por otro lado, se afirma (por ejemplo, en el Ejercicio 1.6 de los "Módulos de Curvas" por Harris y Morrison) que la familia $f$ no es trivial. How to show this?

Una idea sería mostrar que la familia no tiene una algebraicas/holomorphic sección. Sin embargo, yo no sé cómo hacer esto.

O uno podría mostrar que $R^1 f_* \mathbb Z_{\mathfrak X}$ no trivial monodromy el uso de la Picard-Lefschetz fórmula. Pero esto requiere hacer un semistable reducción en primer lugar, que se reduce a tomar la 6-a-1 tapa de los mencionados anteriormente y, a continuación, el monodromy será trivial, porque la familia es trivial.

Answer 1

Una idea es mostrar que el espacio total de la familia es racional. En otras palabras, queremos mostrar que la superficie $$ \operatorname{Spec} \frac{k[x,y,t]}{(x^3-y^2-t)} $$ es racional. Esto puede ser visto de manera algebraica. En el plano de los anillos, $$ \frac{k[x,y,t]}{(x^3-y^2-t)} \cong k[x,y] $$ donde hemos utilizado el hecho de que $R[t]/(t-a) = R$$a\in R$. En este caso, $R=k[x,y]$. En consecuencia, nuestra superficie es isomorfo a $\operatorname{Spec} k[x,y]=\mathbb{A}^2$, por lo que es racional. (Si usted prefiere un argumento geométrico, se puede proyectar lejos de un punto).

Esto demuestra que la familia no es trivial: de Hecho, el espacio total de la trivial de la familia es isomorfo a la superficie de la $\mathbb{C}^* \times E$ donde $E$ es la curva elíptica $y^2=x^3-1$ (ya que todas las fibras son isomorfos curvas elípticas). Esta superficie no es racional, porque una racional mapa de $\mathbb{P}^2\dashrightarrow \mathbb{C}^*\times E$ compuesto con la proyección de $\mathbb{C}^*\times E\to E$ daría un dominante mapa de $\mathbb{P}^2\dashrightarrow E$, lo que significaría que $E$ es unirational. Cualquier unirational curva es racional (por Luroth del teorema), la cual es una contradicción (debido a una curva elíptica han género 1, por lo que no es racional).

Answer 2

Cuando usted tiene una familia de (genéricamente suave, pero posiblemente singular) curvas elípticas sobre una suave 1-dimensiones de la base de $B$, el local monodromy de la familia en torno a un punto de $b\in B$ está totalmente determinado por la fibra en ese punto. A grandes rasgos, este monodromy informa de cómo los grupos de homología de las fibras, mientras que usted se mueve a lo largo de un bucle en la base de $B$. En este caso, puesto que las fibras son curvas elípticas, su primer homología es $\mathbb{Z}^2$, y por lo tanto la monodromy asociado a un bucle en $B$ será una matriz en la $GL_2(\mathbb{Z})$. El punto aquí es que si la familia es trivial, entonces el monodromy será trivial (es decir, "la identidad" $[[1,0],[0,1]]$).

Al $B$ es una curva de más de $\mathbb{C}$ (o un número de campo), la relación entre monodromy y el singular de la fibra es completamente clasificados por Kodaira en uno de sus artículos "Sobre la Estructura de Compacto Complejo de la Analítica de Superficies" (escribió una serie de artículos con este título). (Creo que el caso de superficies elípticas sobre los anillos de enteros en un número de campos fue hecho por Nerón/Tate)

Afortunadamente, uno de los principales resultados, se puede encontrar aquí:

https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_surface#Monodromy

En su caso, su singular de fibra por encima de $t = 0$ es un cuspidal cúbicos (Kodaira tipo II), que de acuerdo a la tabla tiene monodromy matriz $[[1,1],[-1,0]]$. Desde este monodromy matriz no es la identidad, se puede deducir que su familia no es un trivial de la familia. (Tenga en cuenta que la única manera de conseguir trivial monodromy es para el "singular fibra" para ser realmente suave, es decir, de Kodaira tipo de $I_0$).