Una nueva clase de convergencia

Question

Que $(X,d)$ ser un espacio métrico conectado. Decimos que un $\{x_n\}_n \subseteq X$ de la secuencia es convergente T $x \in X$ si lo siguiente es cierto:

$$ \mbox{if} \; a,b \in X \mbox{ and } d(a,x) < d(x,b) \mbox{ then } \exists N\; \forall n\geq N:d(a,x_n) < d(x_n,b) $$
¿Cierto que T-convergencia implica convergencia!?

Answer 1

El resultado es falso en general. Que $X=\ell_2$. Por $n\in\Bbb N$ $x^n=\langle x_k^n:k\in\Bbb N\rangle$ tal que % $ $$x_k^n=\begin{cases}1,&\text{if }k=n\\0,&\text{otherwise}\;.\end{cases}$

Que $a=\langle a_k:k\in\Bbb N\rangle\in X$. Entonces

$$\|a-x^n\|=\left(\sum_{k\ge 0}(a_k-x_k^n)^2\right)^{1/2}=\left((a_n-1)^2+\sum_{{k\ge 0}\atop{k\ne n}}a_k^2\right)^{1/2}\longrightarrow\left(1+\|a\|^2\right)^{1/2}$$

$n\to\infty$. Que $z\in X$ ser el cero de la secuencia y Supongamos que $a,b\in X$ $\|a\|<\|b\|$. Entonces $$\lim_{n\to\infty}\|a-x^n\|=\left(1+\|a\|^2\right)^{1/2}<\left(1+\|b\|^2\right)^{1/2}=\lim_{n\to\infty}\|b-x^n\|\;,$ $

así que hay un $m\in\Bbb N$ tal que $\|a-x^n\|<\|b-x^n\|$ % todos $n\ge m$. Se deduce que $\langle x^n:n\in\Bbb N\rangle$ $T$-converge a $z$ y $\langle x^n:n\in\Bbb N\rangle$ no converge a $z$; en efecto, no es convergente subsequence.