Si A es la suma de los dígitos de $5^{10000}$, B es la suma de los dígitos de A, y C es la suma de los dígitos de B, ¿cuál es C?
Sé que tiene algo que ver con mod 9, pero no estoy seguro de cómo usarlo para resolver el problema. Encontré esta pregunta en mi Paquete de Teoría de Números del Desafío Matemático II, y me confundí.
Claramente $5^{10000}$ es un número con menos de $10000$ dígitos, y la suma de estos dígitos es menor que $90000$. Es decir, $A<90000$. Entonces $A$ tiene como máximo $5$ dígitos y el mismo argumento muestra que $B\le45$. La mayor suma de dígitos de cualquier número menor que $45$ es $12$ (si el número es $39$), por lo que $C\le12$. Pero $C$ debe ser el mismo que el número original módulo $9$ y entonces $$C\equiv5^{10000}\equiv5\times(5^3)^{3333}\equiv5\times125^{3333} \equiv5\times(-1)^{3333}\equiv-5\pmod9\ .$$ El único entero positivo menor o igual a $12$ que es congruente a $-5$ módulo $9$ es $4$, y este es el valor de $C$.
@JasonChen eso es verdad. Si quieres hacer este tipo de cosa también podrías decir que $\log_{10}(5^{10000})<6990$, entonces $5^{10000}$ tiene como máximo $6990$ dígitos, y los dos últimos dígitos son $25$, así que $A\le62899$, entonces $B\le41$. Sin embargo, esto solo agrega trabajo extra sin mejorar la solución. El punto es que las estimaciones más triviales y sin sentido siguen siendo suficientes para resolver el problema.
Y $B\le 44$ simplemente sería un argumento más fuerte. La afirmación $B\le 45$ no es falsa. No es necesario que $a$ sea igual a $b$ cuando $a\le b$.
Sea $S(n)$ la suma de los dígitos de $n$. Entonces, nota que $S(n) \le 9(\lfloor\log_{10}(n)\rfloor + 1)$.
Así,
$(S(5^{10000}) \le 9(\lfloor\log_{10}(5^{10000})\rfloor + 1) = 9(\lfloor10000\log_{10}(5)\rfloor + 1) = 9(\lfloor1000\log_{10}(5^{10})\rfloor + 1) = 9(\lfloor1000\log_{10}(9765625)\rfloor + 1) \le 9(\lfloor1000\log_{10}(10000000)\rfloor + 1) = 9(\lfloor1000\log_{10}(10^7)\rfloor + 1) = 9(\lfloor1000(7)\rfloor + 1) = 9(7001) = 63009$
También nota que la suma máxima posible de dígitos de los números $\le 63009$ es $59999$, con suma de dígitos $41$. Ahora, el número con la suma de dígitos máxima que es $\le 41$ es $39$, con suma de dígitos $12$. Entonces, $C \le 12.
Dado que $5^{10000} \equiv (5^2)^{5000} \equiv 25^{5000} \equiv (-2)^{5000} \equiv 2^{5000} \equiv (2^3)^{1666} \cdot 4 \equiv 8^{1666} \cdot 4 \equiv (-1)^{1666} \cdot 4 \equiv 4 \pmod{9}$.
Dado que $C \equiv 5^{10000} \pmod{9}$ y $0 \le C \le 12$, $C = 4$.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
1 votos
¿Qué está pasando con estos votos de cierre? El OP claramente mostró esfuerzo, gente. Tal vez intenten leer la pregunta en su totalidad. En cualquier caso, aparte de eso $C\equiv B\equiv A\equiv5^{10000}\mod9$, no veo cómo $\mathbb Z/9\mathbb Z$ nos va a ayudar aquí, ¿estás seguro de que es relevante?
0 votos
Todo lo que sé es que usar mod 9 da como resultado la suma de dígitos mod 9, así que creo que de alguna manera podría ayudar
0 votos
Eso te dice que $A \equiv B \equiv C \mod 9$, y que puedes calcular $5^{10000} \mod 9$ para averiguar la clase de residuos módulo $9$. Luego, probablemente haya un argumento de conteo que puedas hacer para demostrar que $C$ debe ser un número de $1$ dígito, y por lo tanto está determinado. Aunque podría estar equivocado.
1 votos
Un punto importante es que la suma de los dígitos es aproximadamente $4.5$ veces el logaritmo en base $10$, por lo que reduce rápidamente los números grandes