El mapa de transposición es positivo, pero no del todo.

Question

Estoy leyendo Introducción a la computación cuántica por Kaye, Laflamme y Mosca. Aquí hay una pregunta con la que estoy luchando:

Ejercicio 3.5.6: Demuestre que el mapa de transposición, que mapea $\rho \mapsto \rho^{T}$ es positivo 1 pero no del todo positiva 2 .

Ahora, la positividad se define en términos del producto interior, es decir $\rho$ es positivo si $\forall v\in \mathcal{H}$ , $\left<v, \rho v\right> \ge 0$ pero la "transposición" se define en términos de una operación sobre matrices. Así que fui capaz de conseguir esto bajo la suposición de que $\rho^{T} = \rho^{*}$ pero no bajo la suposición más débil de que el $\rho$ es simplemente positivo. ¿Es esto cierto incluso si no asumo $\rho^{T} = \rho^{*}$ ?

En cuanto a demostrar que el mapa de transposición no es completamente positivo, francamente no sé lo que estoy haciendo y pido toda la ayuda que me puedan dar. Mi intento se da a continuación, aunque no vale la pena leerlo:

Dejemos que $\rho\otimes \gamma$ sea un mapa positivo, de modo que $\forall u\otimes v \in \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_{B}$ $$ \left<u\otimes v, \rho u \otimes \gamma v\right> := \left<u, \rho u\right>\left< v, \gamma v \right> \ge 0. $$ Entonces el mapa de transposición tensado con la identidad toma $\rho \otimes \gamma$ a $\rho^{T}\otimes \gamma$ y tenemos (de nuevo asumiendo $\rho^{T}=\rho^{*}$ ) $$ \left<u\otimes v, \rho u \otimes \gamma v\right> := \left<u, \rho^{T} u\right>\left< v, \gamma v \right> = \overline{\left< u, \rho u\right>}\left<v, \gamma v \right> =\frac{\overline{\left< u, \rho u\right>}}{\left< u, \rho u\right>}\left<u, \rho u\right>\left< v, \gamma v \right>. $$ Así que $\frac{\overline{\left< u, \rho u\right>}}{\left< u, \rho u\right>}$ debe ser $\ge 0$ . . (en este punto estoy perplejo.)

1 "Positivo" en este contexto significa "mapea operadores positivos a operadores positivos".

2 Definen completamente positivo como sigue: Un mapa es completamente positivo si es positivo, y además, cuando se tensa con la operación de identidad, siguen mapeando operadores positivos a operadores positivos.

Answer 1

Como se trata de una pregunta de deberes, no te daré las respuestas completas, sino pistas para su resolución.

1.Positividad

No hay que asumir la hermeticidad de $\rho$ . Para demostrarlo, basta con ver $\left<\psi\middle|\rho\middle|\psi\right>^T$ y observe que el conjunto de todos los $|\psi^*\rangle$ es el mismo que el conjunto de todos los $|\psi\rangle$ .

2.Positividad no completa

Limitándose a vectores de la forma $u\otimes v$ , te limitas esencialmente a los estados separables. Siendo este un libro sobre información cuántica, mirar los estados enredados puede ayudar.

El estado de Hilbert de interés es $\mathcal H_A\oplus\mathcal H_B$ (con un 'oplus' en el medio no 'otimes' ) y contiene vectores de la forma $\alpha u\otimes v + \beta u'\otimes v'$ que no se puede descomponer bajo la forma de producto.

Una forma de demostrar la positividad no completa, es exhibir un contraejemplo. Tomemos por ejemplo $\rho$ la matriz de densidad de cualquiera de los estados de Bell, y aplicar la transposición en una partícula y la identidad en la otra, y comprobar si el operador resultante sigue siendo positivo.