Gravedad máxima

Question

He encontrado este interesante problema en Introducción a la mecánica clásica con problemas y soluciones por David Morin:

Dado un $P$ en el espacio y dado un pedazo de material maleable de densidad constante, ¿cómo debe usted forma y colocar el material para crear el mayor campo gravitatorio posible en $P$?

¿Alguna idea?

Answer 1

Esta prueba Física sitio web por Yacov Kantor proporciona la solución en el febrero de 2002 prueba. El óptimo perfil de la superficie (con un máximo de gravedad en el origen) en coordenadas cilíndricas y esféricas para el sólido de revolución es$r^2=z_0^2 \cos\theta$$(z^2+\rho^2)^{3/2}= z_0^2z$, respectivamente, $0\leq z\leq z_0$. La gravedad en el origen es de sólo el 2,6% mayor que la de la gravedad en la superficie de un planeta esférico.

Answer 2

Hmmm...que divertido.

Es importante tener en cuenta que hemos de buscar el mayor número posible de campo, y no el potencial más bajo versus infinito que podría producir un resultado de la menor.

Así que vamos a considerar algunos de los casos obvios (todos de los cuales voy a reducir a una dependencia sólo en $\rho$$M$.).

• Cerca de un ámbito

  Formamos el material dentro de una esfera de volumen $V=M/\rho$ y radio de $R = 3/4 V^{1/3}/\pi$, junto a $p$ y calcular el campo como $F_G = G M/R^2 = (3/4) G M V^{-2/3} = (3/4) G M^{1/3} \rho^{-2/3}$

• Cerca de un avión segmento

  Formamos el material en un disco de espesor $T$ radio $R = 10 t$ (alegando que esto es suficiente para una "infinita lugar" aproximación cerca del centro), por lo que el$V = 100 t^3$, de modo que $t = (V/100)^{1/3} = [M/(100 \rho)]^{1/3}$. Ponemos el que se $p$ fronteras centro en uno de los lados. La densidad de la superficie del es$\sigma = \rho * t = 100^{-2/3} \rho^{2/3} M^{1/3}$, y el campo es $F_G = 2 \pi G \sigma = 2 \pi 100^{-2/3} G M^{1/3} \rho^{-2/3}$.

Tenga en cuenta que hasta el momento, tanto las distribuciones de resultados en un formulario de $F_G = C \times G M^{1/3} \rho^{-2/3}$, tan sólo tenemos que comparar las constantes. Bien, $2 \pi 100^{-2/3} = 2 \pi (0.046) = 0.29$, por lo que la distribución esférica es mejor que el uno plano.

Answer 3

La solución trivial es compacta la masa a un objeto de punto, supongo. En ese caso la gravedad en el punto P es infinita, porque la distancia es cero. No estoy seguro si esto viola el principio de 'densidad constante' aunque.

Answer 4

Mi primera suposición es para moldear el material en una esfera de radio unidad y colocarlo para que P está en su superficie, de esta manera, no 'pierdes' cualquier campo gravitatorio debido ya sea a 1/r ^ 2 término, o a cualquier consideración asimétrica en la dirección del vector de la señala de la fuente.

En otra palabras-aquí tenemos una fuente máximo simétrica, y estamos sentados encima de él. Me interesaría ver si nada más exótico surge, sin embargo!