¿Por qué este sistema no es un múltiple?

Question

Set $M = \{ \, (x, y) : x^2 = y^2 \, \}$. Si para cada punto de $(a, c)$$M$, existe un entorno $U$ contiene $(a, c)$ y la función $\phi(x, y)$ tal forma que:

1. $\phi(x, y) = 0$ $M \cap U$;
2. La matriz Jacobiana asociada con $\phi$ rango $1$$U$. (En general, no tiene que estar rango de $1$. Pero aquí la única opción es $1$.)

A continuación, $M$ es un colector. Si la matriz Jacobiana tiene rangos mayor que $0$, luego tenemos el uso de $\phi$ para llevar a cabo el teorema de la función implícita, y construir una función tal que $(x, y) = (x, f(x))$$M \cap U$. Pero no sé cómo ir en reversa; ¿cuál es la contradicción si $M$ es un colector?

Una conjetura dice que $(0, 0)$ es nuestro foco de problemas. La función de $\varphi(x, y) = x^2 - y^2$ es igual a $0$$M$. Pero la matriz Jacobiana tiene cero rango en $(0, 0)$. Así, no se puede utilizar $\varphi$ para llevar a cabo el teorema de la función implícita...

Answer 1

es equivalente a $x^2-y^2=0$ $(x-y)(x+y)=0$, es equivalente a $x=y$ o $x=-y$. Así es la Unión de dos líneas de $R^2$ que cruza en $(0,0)$, no es un múltiple ya que no tienes un espacio tangente en $(0,0)$.

También se puede decir que si es un múltiple, habría sido un $1$-múltiple dimensional, pero un barrio conectado de $(0,0)$ no diffeomorphic a un intervalo, puesto que si eliminas $(0,0)$ de él, tiene al menos cuatro componentes conectados.

Answer 2

Un 1-dimensional múltiple conectado tiene la propiedad de que al quitar uno de sus puntos llegue a la mayoría dos componentes conectados.

Comprobarlo y luego utilízalo para demostrar que su conjunto no es un múltiple.

Answer 3

$\phi$ no sólo tiene el propósito de indicar que los puntos están en el colector. También le da una especie de "brújula", diciendo desde cada punto en el que la única dirección en la que el colector sigue, a saber, (caso unidimensional) en la dirección $\pm\nabla \phi$. Tenga en cuenta que en realidad sólo la dirección es significativo: la distancia a la que se puede ir a la estancia en el colector es, en general, sólo infinitesimal; por lo que es en realidad más bien $\frac{\nabla\phi}{\|\nabla\phi\|}$ que es interesante^†. Pero esto no está definido si $\nabla\phi=0$ en algún momento – en este caso no puede el punto de que a cualquier dirección en la que el colector continúa. En tu ejemplo, en $p=(0,0)$ en realidad, hay dos direcciones en las que las $M$ se extiende: $(1,1)$$(1,-1)$.

Como dices, una forma de entender este problema es decir que te impide aplicar el teorema de la función implícita.

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^†_{Por la forma, el espacio de estos "direcciones locales" se forma un colector de estructura.}